Question

【題目】對(duì)于平面內(nèi)的∠M和∠N，若存在一個(gè)常數(shù)k＞0，使得∠M＋k∠N＝360°，則稱∠N為∠M的k系補(bǔ)周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，則∠N為∠M的6系補(bǔ)周角．

（1）若∠H＝120°，則∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為 ；

（2）在平面內(nèi)AB∥CD，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接BE，DE．

①如圖1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系補(bǔ)周角，求∠B的度數(shù)；

②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，且滿足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），點(diǎn)P是∠ABE角平分線BG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)你確定一個(gè)點(diǎn)P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補(bǔ)周角，并直接寫出此時(shí)的k值（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）①75°，②當(dāng)BG上的動(dòng)點(diǎn)P為∠CDG的角平分線與BG的交點(diǎn)時(shí)，滿足∠BPD是∠F的k系補(bǔ)周角，此時(shí)k=2n，推導(dǎo)見解析.

【解析】

（1）直接利用k系補(bǔ)周角的定義列方程求解即可．

（2）①依據(jù)k系補(bǔ)周角的定義及平行線的性質(zhì)，建立∠BED、∠B、∠D的關(guān)系式求解即可.

②結(jié)合本題的構(gòu)圖特點(diǎn)，利用平行線的性質(zhì)得到：∠ABF+∠CDF+∠F=360°,結(jié)合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），又由于點(diǎn)P是∠ABE角平分線BG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，通過構(gòu)造相同特殊條件猜想出一個(gè)滿足條件的P點(diǎn)，再通過推理論證得到k的值（含n的表達(dá)式），即說明點(diǎn)P即為所求.

解：（1）設(shè)∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為x，

則有120°+4x=360°，

解得：x=60°

∴∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為60°；

（2）①如圖，

過點(diǎn)E作EF//AB，

∵AB//EF,

∴EF//CD，

∴∠B=∠1,∠D=∠2，

∴∠1+∠2=∠B+∠D，

即∠BED=∠B+∠D，

∵∠BED+3∠B=360°，∠D＝60，

∴，

解得：∠B=75°，

∴∠B=75°；

②預(yù)備知識(shí)，基本構(gòu)圖：

如圖，AB//CD//EF,則

∠ABE+∠BEG=180°，

∠DCE+∠GEC=180°，

∴∠ABE+∠BEG+∠DCE+∠GEC=360°，

即∠ABE+∠DCG+∠BEC=360°

如圖：

當(dāng)BG上的動(dòng)點(diǎn)P為∠CDG的角平分線與BG的交點(diǎn)時(shí)，滿足∠BPD是∠F的k系補(bǔ)周角，此時(shí)k=2n.理由如下：

若∠BPD是∠F的k系補(bǔ)周角，則

∠F+k∠BPD=360°，

∴k∠BPD=360°-∠F

又由基本構(gòu)圖知：

∠ABF+∠CDF=360°-∠F，

∴k∠BPD=∠ABF+∠CDF，

又∵∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE，

∴k∠BPD= n∠ABE+ n∠CDE，

∵∠BPD=∠PHD+∠PDH,

∵AB//CD，PG平分∠ABE，PD平分∠CDE，

∴∠PHD=∠ABH= ,∠PDH=，

∴(+)=n(∠ABE+∠CDE)，

∴k=2n.