Question

如圖(1)，∆ABC為等邊三角形，AB=6，在直角三角板DEF中∠F=90°，∠FDE=60°，點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)，邊DF始終經(jīng)過點(diǎn)A，DE交AC于點(diǎn)G.

(1)求證:①∠BAD=∠CDG
②∆ABD∽∆DCG
(2)設(shè)BD=x,若CG=，求x的值；
(3)如圖2，當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，將線段CP繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CP' ，連接BP'，DP'，

①求∠CBP'的度數(shù)；②求DP'的最小值.

Answer 1

（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）x₁=1,x₂=5;(3) ①∠CBP'="30°" ; ②DP′=1.5.

試題分析：(1) ①利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求證. ②利用兩角相等的三角形相似.(2)利用前面所得的三角形相似，由對(duì)應(yīng)邊成比例，可求得x的值.（3）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，可證得△ACP≌△BCP′,從而∠CAP=∠CBP′,然后根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，得到∠CBP′=30°. ②根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當(dāng)∠BP′D=90°時(shí)，DP′最短.
試題解析：(1)①∵∠ADC=∠B+∠BAD, ∠ADC=∠ADG+∠CDG
∴∠B+∠BAD=∠ADG+∠CDG
∵三角形ABC是等邊三角形
∴∠B=∠C=60°
∵∠ADG=60°
∴∠BAD=∠CDG
②由①知∠BAD=∠CDG
∵∠B=∠C
∴△ABD∽△DCG
(2)由（1）知△ABD∽△DCG，所以AB:CD=BD:CG,CD=6-x,AB=6,CG=,BD=x,代入可求得：x=1或5.
(3) ①由旋轉(zhuǎn)知∠PCP′=60°,CP=CP′,
∵△ABC是等邊三角形
∴AC="BC," ∠ACB=60°
∴∠ACP=∠BCP′
∴△ACP≌△BCP′
∠CBP′=∠CAD=30°
②根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)DP′⊥BP′時(shí)，DP′最短，此時(shí)，由于∠CBP′=30°,所以DP′=BD=1.5.