Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+2mx﹣m2+1的對稱軸是直線x=1．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點D（n，y1），E（3，y2）在拋物線上，若y1＜y2，請直接寫出n的取值范圍；

（3）設點M（p，q）為拋物線上的一個動點，當﹣1＜p＜2時，點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx﹣4的上方，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x．（2）當n＜﹣1或n＞3時，y1＜y2．（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的對稱軸方程可求得m=1，從而可求得拋物線的表達式；

（2）將x=3代入拋物線的解析式，可求得y2=3，將y=3代入拋物線的解析式可求得x1=﹣1，x2=3，由拋物線的開口向下，可知當當n＜﹣1或n＞3時，y1＜y2；

（3）先根據題意畫出點M關于y軸對稱點M′的軌跡，然后根據點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx﹣4的上方，列出關于k的不等式組即可求得k的取值范圍．

解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，

∴x=﹣=﹣=1．

解得：m=1．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x．

（2）將x=3代入拋物線的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3．

將y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3．

解得：x1=﹣1，x2=3．

∵a=﹣1＜0，

∴當n＜﹣1或n＞3時，y1＜y2．

（3）設點M關于y軸對稱點為M′，則點M′運動的軌跡如圖所示：

∵當P=﹣1時，q=﹣（﹣1）2+2×（﹣1）=﹣3．

∴點M關于y軸的對稱點M1′的坐標為（1，﹣3）．

∵當P=2時，q=﹣22+2×2=0，

∴點M關于y軸的對稱點M2′的坐標為（﹣2，0）．

①當k＜0時，

∵點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx﹣4的上方，

∴﹣2k﹣4≤0．

解得：k≥﹣2．

②當k＞0時，

∵點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx﹣4的上方，

∴k﹣4≤﹣3．

解得；k≤1．

∴k的取值范圍是﹣2≤k≤1．