Question

已知：如圖，BD、CE都是△ABC的高．F是BD上一點(diǎn)，G是CE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠FAB=∠G．
（1）若∠FAD=∠FBC，試說(shuō)明AG∥BC；
（2）若BF=AC，試探索線(xiàn)段AF和AG的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)已知條件求證出關(guān)于直線(xiàn)AG，BC的內(nèi)錯(cuò)角∠G=∠ECB，則滿(mǎn)足AG∥BC的條件；
（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和已知條件求證出△BAF≌△CGA，則得到AF=AG，然后通過(guò)等量代換求出∠GAF=90°所以AG⊥AF．

解答：解：（1）設(shè)BD、CE交于O，
∵BD、CE是高，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
∴∠BOE+∠EBO=∠COD+∠OCD=90°，
∵∠BOE=∠COD，
∴∠EBO=∠OCD，
∵∠EBO+∠FBC+∠ECB=90°，
∠FAD+∠BAF+∠OCD=90°，
∵∠FAD=∠FBC，
∴∠ECB=∠BAF，
∵∠BAF=∠G，
∴∠G=∠ECB，
∴AG∥BC；

（2）AF⊥AG，AF=AG．
∵在△BAF和△CGA中，

∠ABF=∠GCA ∠BAF=∠G BF=AC

，
∴△BAF≌△CGA（AAS），
∴AF=AG，
在Rt△AGE中，
∵∠AEG=90°，
∴∠G+∠GAE=90°，
∵∠G=∠BAF，
∴∠GAE+∠BAF=90°，
即∠GAF=90°，
∴AG⊥AF．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定條件，全等三角形的判定條件，以及垂直定理；做題時(shí)要熟練應(yīng)用這些知識(shí)．