Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

5

2

，-

9

8

)，且經(jīng)過點(diǎn)A（8，14）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)該拋物線與y軸相交于點(diǎn)B，與x軸相交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），試求點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P是x軸上的任意一點(diǎn)，分別連接AC、BC．試判斷：PA+PB與AC+BC的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式的二次函數(shù)通式設(shè)出拋物線的解析式．然后根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式即可求出B、C、D的坐標(biāo)．
（3）如果延長AC交y軸于E點(diǎn)．根據(jù)A、C的坐標(biāo)可求出直線AC的解析式，不難得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，這時(shí)可發(fā)現(xiàn)E點(diǎn)正好和B點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，也就是說x軸是線段BE的垂直平分線，因此x軸上任意點(diǎn)到B、E兩點(diǎn)的距離都相等，那么AE=AC+BC，AP+PC=AP+PE，因此本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P、C重合時(shí)，此時(shí)AC+BC=AP+PC
②當(dāng)P、C不重合時(shí)，在三角形AEP中，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系可得出AP+PE＞AE，根據(jù)前面分析的結(jié)論可得出AP+PC＞AC+BC．
綜合上述兩種情況：AP+BP≥AC+BC．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-

5

2

）²-

9

8

∵拋物線經(jīng)過A（8，14），
∴14=a（8-

5

2

）²-

9

8

，
解得：a=

1

2

∴y=

1

2

（x-

5

2

）²-

9

8

（或y=

1

2

x2-

5

2

x+2）

（2）令x=0得y=2，
∴B（0，2）
令y=0得

1

2

x²-

5

2

x+2=0，
解得x₁=1、x₂=4
∴C（1，0）、D（4，0）

（3）結(jié)論：PA+PB≥AC+BC
理由是：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，有PA+PB=AC+BC
②當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)C時(shí)，
∵直線AC經(jīng)過點(diǎn)A（8，14）、C（1，0），
∴直線AC的解析式為y=2x-2
設(shè)直線AC與y軸相交于點(diǎn)E，令x=0，得y=-2，
∴E（0，-2），
則點(diǎn)E（0，-2）與B（0，2）關(guān)于x軸對稱
∴BC=EC，連接PE，則PE=PB，
∴AC+BC=AC+EC=AE，
∵在△APE中，有PA+PE＞AE
∴PA+PB=PA+PE＞AE=AC+BC
綜上所得AP+BP≥AC+BC．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及根據(jù)二次函數(shù)的解析式求函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的方法，（3）中準(zhǔn)確的作出E點(diǎn)（即B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)）并能根據(jù)三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．