Question

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，AD，CE都是△ABC的高，它們交于H．求證：
（1）AE=EC；
（2）AH=2BD．

Answer 1

分析：（1）求出∠AEC=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACE=45°=∠CAE即可；
（2）求出AE=EC，∠EAH=∠BCE，∠AEH=∠CEB，證△EAH≌△ECB，推出AH=BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出BC=2BD，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵CE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°，
∵∠CAB=45°，
∴∠ACE=45°=∠CAE，
∴AE=EC．

（2）∵AD，CE都是△ABC的高，
∴∠AEH=∠CEB=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠CHD，∠EAH+∠AEH+∠AHE=180°，∠BCE+∠CHD+∠ADC=180°，
∴∠EAH=∠BCE，
在△AEH和△CEB中，

∠AEH=∠CEB AE=EC ∠EAH=∠ECB

，
∴△AEH≌△CEB（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD是△ABC的高，
∴BC=2BD，
∴AH=2BD．

點評：本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．