Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+k（a、k為常數(shù)，a≠0），線段AB的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣1，2)，B(2，2)．

（1）該二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線　 　；

（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，若點(diǎn)B(2，2)恰好在此函數(shù)圖象上，求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

（3）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，當(dāng)此二次函數(shù)的圖象與線段AB只有一個公共點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍；

（4）若k＝a+3，過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)﹣1＜x＜2，此二次函數(shù)圖象與四邊形APQB的邊交點(diǎn)個數(shù)是大于0的偶數(shù)時(shí)，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x＝1；（2）y＝﹣x2+2x+2；（3）2＜k≤5或k＝1；（4）2≤k＜或k＜0

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+k（a、k為常數(shù)，a≠0）即可求此二次函數(shù)的對稱軸；

（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，把B（2，2）代入即可求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

（3）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與線段AB只有一個公共點(diǎn)，分三種情況說明：當(dāng)拋物線頂點(diǎn)落在AB上時(shí)，k+1＝2，k＝1；當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，k＝2；當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，k＝5，即可求此k的取值范圍；

（4）當(dāng)k＝a+3，根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形即可求此k的取值范圍．

解：（1）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+k（a、k為常數(shù)，a≠0），

二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x＝1．

故答案為x＝1；

（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，y＝﹣x2+2x+k

把B（2，2）代入，得 k＝2，

∴y＝﹣x2+2x+2

（3）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，

y＝﹣x2+2x+k

＝﹣（x﹣1）2+k+1

∵此二次函數(shù)的圖象與線段AB只有一個公共點(diǎn)，

當(dāng)拋物線頂點(diǎn)落在AB上時(shí)，k+1＝2，k＝1

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，k＝2

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，

﹣1﹣2+k＝2，k＝5

綜上所述：2＜k≤5或k＝1；

（4）當(dāng)k＝a+3時(shí)，

y＝ax2﹣2ax+a+3

＝a（x﹣1）2+3

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）

∴a+3＜3

∴a＜0．

如圖，

過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)Q，

∴P（﹣1，0），Q（2，0）

當(dāng)﹣1＜x＜2，此二次函數(shù)圖象與四邊形APQB的邊交點(diǎn)個數(shù)是大于0的偶數(shù)，

當(dāng)拋物線過點(diǎn)P時(shí)，

a+2a+a+3＝0，解得a＝﹣

∴k＝a+3＝，

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，

4a﹣4a+a+3＝2，解得a＝﹣1，

∴k＝2，

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，

4a﹣4a+a+3＝0，解得a＝﹣3，

∴k＝0

綜上所述：2≤k＜或k＜0．