Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數(shù)y＝x與一次函數(shù)y＝﹣x+7的圖象交于點A，x軸上有一點P(a，0)．

（1）求點A的坐標；

（2）若△OAP為等腰三角形，則a＝　 　；

（3）過點P作x軸的垂線（垂線位于點A的右側）、分別交y＝x和y＝﹣x+7的圖象于點B、C，連接OC．若BC＝OA，求△OBC的面積．

Answer 1

【答案】（1）A(4，3)；（2）±5或8或；（3）28

【解析】

（1）點A是兩直線的交點,其坐標即方程組的解；

（2）分OA＝PO、OA＝AP、AP＝OP適中情況，分別求解即可；

（3）P（a，0），則分別用含a的式子表示出B、C的坐標，從而表示出BC的長度，用勾股定理求得OA，然后根據(jù)BC＝OA求出a的值，從而利用三角形面積公式求解．

解：（1）由題意：解得： ，

故點A（4，3）；

（2）點A（4，3），則OA＝，

①當OA＝PO=P1O時，

此時OA＝5＝PO=P1O，即a＝±5

②當OA＝AP時，如圖，過點A做AM⊥x軸于點M

此時OM=MP=4

∴OP=8

則點P（8，0），即a＝8；

③當AP＝OP時，如圖所示，連接AP，過點A作AH⊥x軸于點H，

AP＝PO＝a，則PH＝4﹣a，則（4﹣a）2+9＝a2，

解得：a＝；

綜上，a＝±5或8或；

故答案為：±5或8或；

（3）∵P（a，0），則點B、C的坐標分別為：（a，a）、（a，﹣a+7），

∴BC=a-（-a+7）=a+a﹣7=

又∵BC＝OA且OA＝

∴＝×5＝7，

解得：a＝8，

故點P（8，0），即OP＝8；

△OBC的面積＝×BC×OP＝×7×8＝28．