Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）和一次函數(shù)y=-x+8．
（1）若一次函數(shù)和反函數(shù)的圖象交于點（4，m），求m和k；
（2）k滿足什么條件時，這兩個函數(shù)圖象有兩個不同的交點；
（3）設（2）中的兩個交點為A、B，試判斷∠AOB是銳角還是鈍角？

Answer 1

分析：（1）因為一次函數(shù)過（4，m）求m，再把求出的交點坐標代入反比例函數(shù)中求k；
（2）求交點問題，就是解聯(lián)立而成的方程組得關于k的一元二次方程，運用根與系數(shù)關系解答；
（3）根據(jù)交點A、B的位置判斷．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于點（4，m），∴有

m=-4k+8 m= k 4

，
解之得

m=4 k=16

，
∴m=4，k=16；

（2）若兩個函數(shù)相交，則交點坐標滿足方程組

y= k x (k≠0) y=-x+8

，
∴-x+8=

k

x

，
即x²-8x+k=0，
要使兩個函數(shù)有兩個不同的交點，則方程應有兩個不相同的根，
也就是△＞0，
即（-8）²-4×1×k=64-4k＞0，
∴k＜16，
∴要使兩個函數(shù)圖象有兩個不同交點，k應滿足k＜16且k≠0；

（3）當0＜k＜16時，y=

k

x

的圖象在第一、三象限，它與y=-x+8的兩個交點都在第一象限內(nèi)，這時∠AOB是銳角；

當k＜0時，y=

k

x

的圖象在第二、四象限，它與y=-x+8的兩個交點分別在第二、四象限，此時∠AOB是鈍角．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，也考查了方程組的解和圖象交點坐標的關系．此題將函數(shù)與方程聯(lián)系起來分類討論，檢查學生的綜合知識水平．