Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，且CD=3cm．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng)；點(diǎn)Q以

5

4

cm/s的速度沿CB向終點(diǎn)B移動(dòng)．過P作PE∥CB交AD于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）用含x的代數(shù)式表示EP；
（2）當(dāng)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，四邊形PEDQ是平行四邊形；
（3）當(dāng)Q在線段BD（不包括點(diǎn)B、點(diǎn)D）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四邊形EPDQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）此題有兩種解法：①由于PE∥CD，易證得△APE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得PE的長(zhǎng)，②根據(jù)∠A的正切值求解．
（2）當(dāng)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0＜x＜2.4，若四邊形PEDQ是平行四邊形，則PE=DQ₁，可用x表示出DQ₁的長(zhǎng)，聯(lián)立PE的表達(dá)式列方程求出x的值．
（3）當(dāng)Q在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形EPDQ是梯形，DQ、CP的長(zhǎng)易求得，即可根據(jù)梯形的面積公式求得關(guān)于四邊形EPDQ的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到四邊形EPDQ的最大面積．

解答：解：（1）∵PE∥CB，
∴∠AEP=∠ADC，
又∵∠EAP=∠DAC，
∴△AEP∽△ADC，（2分）
∴

AP

AC

=

EP

DC

，
∴

EP

3

=

x

4

，（3分）
∴EP=

3

4

x．（4分）

（2）由四邊形PEDQ₁是平行四邊形，可得EP=DQ₁．（5分）
即

3

4

x=3-

5

4

x，所以x=1.5．（6分）
∵0＜x＜2.4（7分）
∴當(dāng)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)1.5秒時(shí)，四邊形PEDQ是平行四邊形．（8分）

（3）S_{四邊形EPDQ2}=

1

2

（

3

4

x+

5

4

x-3）•（4-x）（9分）
=-x²+

11

2

x-6=-（x-

11

4

）²+

25

16

，（10分）
又∵2.4＜x＜4，（12分）
∴當(dāng)x=

11

4

時(shí)，S取得最大值，最大值為

25

16

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、梯形的面積以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用；在求圖形面積的最大或最小值時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解．