Question

如圖，已知A（0，1）、D（4，3），P是以AD為對(duì)角線的矩形ABDC內(nèi)部（不在各邊上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，拋物線y=ax²+bx+1以P為頂點(diǎn)．
（1）能否判斷拋物線y=ax²+bx+1的開口方向？請(qǐng)說明理由．
（2）設(shè)拋物線y=ax²+bx+1與x軸有交點(diǎn)F、E（F在E的左側(cè)），△EAO與△FAO的面積之差為3，且這條拋物線與線段AD有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

7

2

，這時(shí)能確定a、b的值嗎？若能，請(qǐng)求出a、b的值；若不能，請(qǐng)確定a、b的取值范圍．（本題的圖形僅供分析參考用）

Answer 1

分析：（1）由y=ax²+bx+1可知拋物線過點(diǎn)（0，1），即A點(diǎn)，而頂點(diǎn)P在正方形內(nèi)部，可判斷拋物線開口向下；
（2）已知OA=1，設(shè)F（x₁，0）、E（x₂，0），利用△EAO與△FAO的面積之差為3，可求x₁+x₂=6的值，再利用兩根關(guān)系求a、b的一個(gè)關(guān)系式，求直線AD的解析式，根據(jù)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為

7

2

，求D點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式，得到a、b的另外一個(gè)關(guān)系式，解方程組求a、b的值．

解答：解：（1）能判斷拋物線開口向下．
∵y=ax²+bx+1經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），
∴點(diǎn)P的位置高于點(diǎn)A，說明點(diǎn)P不是拋物線的最低點(diǎn)，
∴點(diǎn)P是拋物線的最高點(diǎn)．
∴拋物線y=ax²+bx+1的開口向下．

（2）如圖，設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為F（x₁，0）、E（x₂，0），
則x₁＜0，x₂＞0
S_△AEO=

1

2

OE•OA=

1

2

x₂；
S_△AFO=

1

2

OF•OA=-

1

2

x₁
∵S_△AEO-S_△AFO=3
∴

1

2

x₂-（-

1

2

x₁）=3，即x₁+x₂=6
∵x₁+x₂=

-b+ b2-4a

2a

+

-b- b2-4a

2a

=-

b

a

∴-

b

a

=6，即b=-6a①
另一方面，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+m，
并把點(diǎn)A（0，1）、D（4，3）的坐標(biāo)代入解析式得

1=0k+m 3=4k+m

，解得

k= 1 2 m=1

，∴y=

1

2

x+1
由于拋物線與線段AD有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

7

2

，所以縱坐標(biāo)=

1

2

×

7

2

+1=

11

4

把點(diǎn)（

7

2

，

11

4

）的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+1，
整理得49a+14b=7②
解由①②組成的方程組得a=-

1

5

，b=

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)不是最高點(diǎn)，就是最低點(diǎn)，判斷開口方向，根據(jù)面積關(guān)系，及拋物線所經(jīng)過的點(diǎn)，列方程組求a、b的值．