Question

如圖，直線l的解析式為y=-x+4，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，平行于直線l的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸的正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，它與x軸、y軸分別相交于M、N兩點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）用含t的代數(shù)式表示△MON的面積S₁；
（3）以MN為對(duì)角線作矩形OMPN，記△MPN和△OAB重合部分的面積為S₂；
①當(dāng)2＜t≤4時(shí)，試探究S₂與之間的函數(shù)關(guān)系；
②在直線m的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S₂為△OAB的面積的

5

16

？

Answer 1

分析：（1）在解析式y(tǒng)=-x+4中，分別令y=0，x=0就可以求出與x，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出，用OM表示出來(lái)；
（3）根據(jù)t的不同值，所對(duì)應(yīng)的陰影部分的圖形形狀不同，因而應(yīng)分2＜t≤4和當(dāng)0＜t≤2兩種個(gè)情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=4．
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）∵M(jìn)N∥AB，

OM

ON

=

OA

OB

=1，
∴OM=ON=t，
∴S₁=

1

2

OM•ON=

1

2

t²；
（3）①當(dāng)2＜t≤4時(shí)，易知點(diǎn)P在△OAB的外面，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t）．
理由：當(dāng)t=2時(shí)，OM=2，ON=2，OP=MN=

22+22

=2

2

，
直角三角形AOB中，設(shè)AB邊上的高為h，
易得AB=4

2

，則

1

2

×4

2

h=4×4×

1

2

，
解得h=2

2

，
故t=2時(shí)，點(diǎn)P在l上，
2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在△OAB的外面．
F點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

x=t y=-t+4

，即F（t，4-t），
同理E（4-t，t），則PF=PE=|t-（4-t）|=2t-4，
所以S₂=S_△MPN-S_△PEF=S_△OMN-S_△PEF，
=

1

2

t²-

1

2

PE•PF=

1

2

t²-

1

2

（2t-4）（2t-4）=-

3

2

t²+8t-8；
②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S₂=

1

2

t²，

1

2

t²=

5

16

×

1

2

×4×4=

5

2

，
解得t₁=-

5

＜0，t₂=

5

＞2，兩個(gè)都不合題意，舍去；
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，S₂=-

3

2

t²+8t-8=

5

2

，
解得t₃=3，t₄=

7

3

，
綜上得，當(dāng)t=

7

3

或t=3時(shí)，S₂為△OAB的面積的

5

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，以及利用三角形的相似的性質(zhì)．是一個(gè)難度較大的綜合題．