Question

如圖，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象的兩個交點(diǎn)．
（1）求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PB-PA的值最大？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在雙曲線上運(yùn)動時，作以O(shè)A、OQ為鄰邊的平行四邊形，求平行四邊形周長最小時點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用xy=m求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，再求出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出三角形面積；
（2）作B點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)B′，連接AB′，直線AB′與x軸交點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時PB-PA最大，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）利用當(dāng)橫縱坐標(biāo)的絕對值相等時OQ長度最短，平行四邊形周長最小，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）∵A（-4，n），B（2，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象的兩個交點(diǎn)，
∴m=2×（-4）=-8，
∴反比例函數(shù)y=-

8

x

，
∴-4n=-8，
解得：n=2，
將A（-4，2），B（2，-4）代入一次函數(shù)y=kx+b得：

-4k+b=2 2k+b=-4

，
解得：

k=-1 b=-2

，
∴直線AB的解析式為：y=-x-2，
當(dāng)y=0時，x=-2，
∴直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為：C（-2，0），
∴S_△AOB=

1

2

×2×2+

1

2

×2×4=6；

（2）存在，作B點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)B′，連接AB′，直線AB′與x軸交點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時PB-PA最大．
∵B（2，-4），∴B′（2，4），
將A，B′代入y=ax+k得：

2a+k=4 -4a+k=2

，
解得：

a= 1 3 b= 10 3

，
∴y=

1

3

x+

10

3

，
當(dāng)y=0時，x=-10，
∴P（-10，0）；

（3）作以O(shè)A、OQ為鄰邊的平行四邊形，當(dāng)橫縱坐標(biāo)的絕對值相等時OQ長度最短，平行四邊形周長最小，
∴x²=8，
解得：x=±2

2

，
∴Q （-2

2

，2

2

）或Q（2

2

，-2

2

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式以及三角形面積求法和利用軸對稱求線段最值等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．