Question

如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形格紙中，△ABC是一個(gè)格點(diǎn)三角形（在方格紙中，小正方形的頂點(diǎn)稱格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形）．
（1）在圖（1）的方格紙中，畫出一個(gè)與△ABC相似但不全等的△A′B′C′；
（2）在圖（2）中，以線段EF為邊畫格點(diǎn)三角形，其中能夠與△ABC相似的有

 

個(gè)（不要證明）
（3）在圖（2）的方格紙中，以線段EF為邊，畫出一個(gè)與△ABC相似的格點(diǎn)三角形

 

EFM，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)比值相等，畫出即可；
（2）根據(jù)若三角形EFM要與△ABC相似，只能有一個(gè)角是135°，若∠M為135°，則EF是最長(zhǎng)邊，不可能畫出格點(diǎn)三角形，所以只能是∠FEM或∠EFM是135°，得出即可；
（3）根據(jù)三角形各邊長(zhǎng)度得出兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，即可證出△ABC∽△EFM．

解答：解：（1）圖形正確（3分）（畫全等不給分）

（2）4個(gè)（5分），
分析，若三角形EFM要與△ABC相似，只能有一個(gè)角是135°，
若∠M為135°，則EF是最長(zhǎng)邊，不可能畫出格點(diǎn)三角形，所以只能是∠FEM或∠EFM是135°，
所以FM是最長(zhǎng)邊或EM是最長(zhǎng)邊，∠FEM=135°時(shí)，
若EF是最短邊時(shí)，

EM

2 2

=

2

1

，EM=4，只可以畫出兩個(gè)格點(diǎn)三角形．
（若EF是次長(zhǎng)邊時(shí)，

EM

1

=

2

2 2

，EM=

1

2

，不可能畫出格點(diǎn)三角形．）同理當(dāng)∠EFM是135°時(shí)，F(xiàn)M=4．
又只可以畫出兩個(gè)格點(diǎn)三角形．所以共可以畫出4個(gè)格點(diǎn)三角形．或根據(jù)對(duì)稱性亦可知共可以畫出4個(gè)格點(diǎn)三角形．

（3）畫出一個(gè)格點(diǎn)三角形（7分），
證明：∵△ABC的三邊長(zhǎng)是AC=1，BC=2

2

，AB=

13

（8分），
所畫的三角形EFM的三邊分別是

2

，4，

26

（9分），
∵

1

2

=

2 2

4

=

13

26

=

2

2

，
∴兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，
△ABC∽△EFM（10分）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性質(zhì)和格點(diǎn)三角形的定義，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出符合要求的三角形是解決問題的關(guān)鍵．