Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為的正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，把邊、分別繞點(diǎn)、同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得四邊形，其對(duì)角線交點(diǎn)為，連接．下列結(jié)論：

①四邊形為菱形；

②；

③線段的長(zhǎng)為；

④點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的路徑是線段．其中正確的結(jié)論共有（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°以及正方形的四個(gè)角都是直角可得∠BCD′＝30°，然后證明A′B∥CD′，進(jìn)而得到四邊形A′BCD′是平行四邊形，再根據(jù)A′B＝BC，即可證明四邊形A′BCD′是菱形；

②根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°求出點(diǎn)B到A′D′的距離是A′B的一半，也就是AB的一半，然后根據(jù)正方形的面積公式以及菱形的面積即可證明；

③先求出OA′的長(zhǎng)度，再根據(jù)菱形的對(duì)邊相等，減去正方形的邊長(zhǎng)即可；

④根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)O以BC的中點(diǎn)為圓心，以BC的一半為半徑逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以得到點(diǎn)O′，所以路徑是弧而非線段．

①根據(jù)題意，∠A′BA＝∠D′CD＝60°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BCD′＝30°，

∴∠A′BC＋∠BCD′＝60°＋90°＋30°＝180°，

∴A′B∥CD′，

又∵A′B＝CD′＝AB，

∴四邊形A′BCD′是平行四邊形，

∵AB＝BC（正方形的邊長(zhǎng)相等），

∴四邊形A′BCD′是菱形，故本題小題正確；

②∵∠ABA′＝60°，AB＝2，

∴點(diǎn)B到A′D′的距離是：A′B＝AB＝1，

∴S四邊形A′BCD＝BC（A′B）＝2×1＝2，

S正方形ABCD＝BCAB＝2×2＝4，

∴S四邊形A′BCD＝S正方形ABCD，故本小題正確；

③∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

∴OA′＝A′Bsin60°＋BC＝2×＋×2＝＋1，

∴OD′＝OA′A′D′＝＋12＝1，故本小題正確；

④根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直可得△BCO′是直角三角形，

∴以BC的中點(diǎn)為圓心，以BC的一半為半徑，點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以到達(dá)點(diǎn)O′的位置，經(jīng)過路徑是弧而不是線段OO′，故本小題錯(cuò)誤．

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③共3個(gè)．

故選：C．