Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)一模）我們把函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．如函數(shù)y=2x+1的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

2

，0），所以該函數(shù)的零點(diǎn)是-

1

2

．
（1）函數(shù)y=x²+4x-5的零點(diǎn)是

-5或1

；
（2）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且頂點(diǎn)A在x軸上．若正方形ABCD沿x軸正方向滾動(dòng)，即先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．頂點(diǎn)D的軌跡是一函數(shù)的圖象，則該函數(shù)在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為

π+1

．

Answer 1

分析：（1）將y=0代入y=x²+4x-5，得x²+4x-5=0，解方程求出x的值即為所求；
（2）正方形ABCD沿x軸正方向滾動(dòng)時(shí)，從頂點(diǎn)D落在x軸上的時(shí)候開始計(jì)算，到下一次D點(diǎn)落在x軸上，這個(gè)過程中四個(gè)頂點(diǎn)依次落在了x軸上，而每?jī)蓚�(gè)頂點(diǎn)間距離為正方形的邊長(zhǎng)1，其頂點(diǎn)D從首次落在x軸上和第二次落在x軸上時(shí)所畫出的軌跡就是函數(shù)在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象，畫出圖形，不難算出它與x軸所圍區(qū)域的面積．

解答：解：（1）∵y=x²+4x-5，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x²+4x-5=0，
解得x=-5或1．
故答案為-5或1；

（2）考察D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，D點(diǎn)從x軸上開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，首先是圍繞A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

1

4

個(gè)圓，該圓半徑為1，然后以B點(diǎn)為中心，滾動(dòng)到C點(diǎn)落地，其間是以BD為半徑，旋轉(zhuǎn)90°，然后以C為圓心，再旋轉(zhuǎn)90°，這時(shí)候以CD為半徑，因此最終構(gòu)成圖象如右所示：
故其與x軸所圍成的圖形面積為S=

1

2

π×1²+

1

4

×π×（

2

）²+2×

1

2

×1×1=π+1．
故答案為：-5或1；π+1．

點(diǎn)評(píng)：本題實(shí)際上是正方形沿直線無滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)有關(guān)頂點(diǎn)的擺線問題，本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念及圖形面積的計(jì)算，充分考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，是一道能力立意的創(chuàng)新題．對(duì)于初中生來說，有一定難度．