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          已知：如圖①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B 出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<2)，解答下列問(wèn)題：
          （1）當(dāng)t為何值時(shí)，QP∥BC ？
          （2）設(shè)AQP 的面積為y(cm2) ，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
          （3）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB 的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
          （4）如圖②，連接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C ，那么是否存在某一時(shí)刻t ，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由． 
          

          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          


          


          


          
解：（1）在Rt△ABC中，
          由題意知：AP = 5-t，AQ = 2t
          若PQ∥BC，則△APQ ∽△ABC
          ∴,∴
          ∴  所以當(dāng)時(shí) ，PQ∥BC 
          （2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC
          ∴ ∴ ∴
          ∴
          （3）若PQ把△ABC周長(zhǎng)平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ． 
          ∴ ， 解得
          若PQ把△ABC面積平分，則，即-+3t=3
          ∵ t=1代入上面方程不成立，
          ∴不存在這一時(shí)刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分． 
          （4）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
          若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC． 
          ∵PM⊥AC于M， ∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． 
          ∴ ∴ ∴
          ∴ ∴ 解得
          ∴當(dāng)時(shí)，四邊形PQP'C 是菱形
          此時(shí)，
          在Rt△PMC中，
          ∴菱形PQP'C邊長(zhǎng)為          		


          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          （2012•閘北區(qū)一模）已知：如圖1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，點(diǎn)B在OC邊上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．動(dòng)點(diǎn)M和N分別在線段AB和AC邊上．
          （l）求證△AOB∽△COA，并求cosC的值；
          （2）當(dāng)AM=4時(shí)，△AMN與△ABC相似，求△AMN與△ABC的面積之比；
          （3）如圖2，當(dāng)MN∥BC時(shí)，將△AMN沿MN折疊，點(diǎn)A落在四邊形BCNM所在平面的點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)MN=x，△EMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：閱讀理解
			
          

						
          根據(jù)所給的基本材料，請(qǐng)你進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚帉?xiě)一道綜合題．
          編寫(xiě)要求：①提出具有綜合性、連續(xù)性的三個(gè)問(wèn)題；②給出正確的解答過(guò)程；③寫(xiě)出編寫(xiě)意圖和學(xué)生答題情況的預(yù)測(cè)．
          材料①：如圖，先把一矩形紙片ABCD對(duì)折，得到折痕MN，然后把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到△ABE，再過(guò)點(diǎn)B把矩形ABCD第三次折疊，使點(diǎn)D落在直線AD上，得到折痕PQ．當(dāng)沿著B(niǎo)E第四次將該紙片折疊后，點(diǎn)A就會(huì)落在EC上．
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          材料②：已知AC是∠MAN的平分線．
          （1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
          （2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
          （3）在圖3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
          則AB+AD=
           
          AC（用含α的三角函數(shù)表示）．
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          材料③：
          已知：如圖甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿線段BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿線段AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2）．
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          編寫(xiě)試題選取的材料是
           
          （填寫(xiě)材料的序號(hào)）
          編寫(xiě)的試題是：（1）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
          （2）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值．
          （3）如圖（2），連接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四邊形PQP'C．是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)．
          試題解答（寫(xiě)出主要步驟即可）：（1）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AP于點(diǎn)D，證△AQD∽△ABC，利用相似性質(zhì)及面積解答；
          （2）分別求得Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積，由周長(zhǎng)求出t，代入函數(shù)解析式驗(yàn)證；
          （3）利用余弦定理得出PC、PQ，聯(lián)立方程，求得t，再代入PC解得答案．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          已知：如圖1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s;點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s;連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<2).解答下列問(wèn)題：
          1.①.當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC?  
          2.②.設(shè)⊿AQP的面積為y(cm),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
          3.③.是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把Rt⊿ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
          4.④.如圖2，連接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四邊形PQC,那么是否存在某時(shí)刻t，使四邊形PQC為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由。
           
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：2010年重慶市萬(wàn)州區(qū)初中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)知識(shí)競(jìng)賽試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          根據(jù)所給的基本材料，請(qǐng)你進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚帉?xiě)一道綜合題．
          編寫(xiě)要求：①提出具有綜合性、連續(xù)性的三個(gè)問(wèn)題；②給出正確的解答過(guò)程；③寫(xiě)出編寫(xiě)意圖和學(xué)生答題情況的預(yù)測(cè)．
          材料①：如圖，先把一矩形紙片ABCD對(duì)折，得到折痕MN，然后把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到△ABE，再過(guò)點(diǎn)B把矩形ABCD第三次折疊，使點(diǎn)D落在直線AD上，得到折痕PQ．當(dāng)沿著B(niǎo)E第四次將該紙片折疊后，點(diǎn)A就會(huì)落在EC上．

          材料②：已知AC是∠MAN的平分線．
          （1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
          （2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
          （3）在圖3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
          則AB+AD=______AC（用含α的三角函數(shù)表示）．

          材料③：
          已知：如圖甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿線段BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿線段AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2）．

          編寫(xiě)試題選取的材料是______（填寫(xiě)材料的序號(hào)）
          編寫(xiě)的試題是：（1）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
          （2）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值．
          （3）如圖（2），連接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四邊形PQP'C．是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)．
          試題解答（寫(xiě)出主要步驟即可）：（1）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AP于點(diǎn)D，證△AQD∽△ABC，利用相似性質(zhì)及面積解答；
          （2）分別求得Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積，由周長(zhǎng)求出t，代入函數(shù)解析式驗(yàn)證；
          （3）利用余弦定理得出PC、PQ，聯(lián)立方程，求得t，再代入PC解得答案．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：2011-2012學(xué)年四川省九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)卷
				題型：解答題
			
          

						
          已知：如圖1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s;點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s;連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<2).解答下列問(wèn)題：
          


          


          1.①.當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC?  
          


          2.②.設(shè)⊿AQP的面積為y(cm),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
          


          3.③.是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把Rt⊿ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
          


          4.④.如圖2，連接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四邊形PQC,那么是否存在某時(shí)刻t，使四邊形PQC為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由。
          


           
          

			
          

			
          
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