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          已知：如圖①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，點P由B 出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設運動的時間為t(s)(0<t<2)，解答下列問題：
          （1）當t為何值時，QP∥BC ？
          （2）設AQP 的面積為y(cm2) ，求y與t之間的函數(shù)關系式；
          （3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB 的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
          （4）如圖②，連接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C ，那么是否存在某一時刻t ，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由． 
          

          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          


          


          


          
解：（1）在Rt△ABC中，
          由題意知：AP = 5-t，AQ = 2t
          若PQ∥BC，則△APQ ∽△ABC
          ∴,∴
          ∴  所以當時 ，PQ∥BC 
          （2）過點P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC
          ∴ ∴ ∴
          ∴
          （3）若PQ把△ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ． 
          ∴ ， 解得
          若PQ把△ABC面積平分，則，即-+3t=3
          ∵ t=1代入上面方程不成立，
          ∴不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分． 
          （4）過點P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
          若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC． 
          ∵PM⊥AC于M， ∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． 
          ∴ ∴ ∴
          ∴ ∴ 解得
          ∴當時，四邊形PQP'C 是菱形
          此時，
          在Rt△PMC中，
          ∴菱形PQP'C邊長為          		


          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：初中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•閘北區(qū)一模）已知：如圖1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，點B在OC邊上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．動點M和N分別在線段AB和AC邊上．
          （l）求證△AOB∽△COA，并求cosC的值；
          （2）當AM=4時，△AMN與△ABC相似，求△AMN與△ABC的面積之比；
          （3）如圖2，當MN∥BC時，將△AMN沿MN折疊，點A落在四邊形BCNM所在平面的點為點E．設MN=x，△EMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，試寫出y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學
				來源：
				題型：閱讀理解
			
          

						
          根據(jù)所給的基本材料，請你進行適當?shù)奶幚�，編寫一道綜合題．
          編寫要求：①提出具有綜合性、連續(xù)性的三個問題；②給出正確的解答過程；③寫出編寫意圖和學生答題情況的預測．
          材料①：如圖，先把一矩形紙片ABCD對折，得到折痕MN，然后把B點疊在折痕線上，得到△ABE，再過點B把矩形ABCD第三次折疊，使點D落在直線AD上，得到折痕PQ．當沿著BE第四次將該紙片折疊后，點A就會落在EC上．
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          材料②：已知AC是∠MAN的平分線．
          （1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
          （2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
          （3）在圖3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
          則AB+AD=
           
          AC（用含α的三角函數(shù)表示）．
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          材料③：
          已知：如圖甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發(fā)沿線段BA向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿線段AC向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ，設運動的時間為t（s）（0＜t＜2）．
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          編寫試題選取的材料是
           
          （填寫材料的序號）
          編寫的試題是：（1）設△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關系式．
          （2）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值．
          （3）如圖（2），連接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四邊形PQP'C．是否存在某一時刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長．
          試題解答（寫出主要步驟即可）：（1）過點Q作QD⊥AP于點D，證△AQD∽△ABC，利用相似性質及面積解答；
          （2）分別求得Rt△ACB的周長和面積，由周長求出t，代入函數(shù)解析式驗證；
          （3）利用余弦定理得出PC、PQ，聯(lián)立方程，求得t，再代入PC解得答案．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知：如圖1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s;點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s;連接PQ.若設運動的時間為t(s)(0<t<2).解答下列問題：
          1.①.當t為何值時，PQ∥BC?  
          2.②.設⊿AQP的面積為y(cm),求y與t之間的函數(shù)關系式；
          3.③.是否存在某一時刻t,使線段PQ恰好把Rt⊿ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
          4.④.如圖2，連接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四邊形PQC,那么是否存在某時刻t，使四邊形PQC為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由。
           
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學
				來源：2010年重慶市萬州區(qū)初中數(shù)學教師專業(yè)知識競賽試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          根據(jù)所給的基本材料，請你進行適當?shù)奶幚�，編寫一道綜合題．
          編寫要求：①提出具有綜合性、連續(xù)性的三個問題；②給出正確的解答過程；③寫出編寫意圖和學生答題情況的預測．
          材料①：如圖，先把一矩形紙片ABCD對折，得到折痕MN，然后把B點疊在折痕線上，得到△ABE，再過點B把矩形ABCD第三次折疊，使點D落在直線AD上，得到折痕PQ．當沿著BE第四次將該紙片折疊后，點A就會落在EC上．

          材料②：已知AC是∠MAN的平分線．
          （1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
          （2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
          （3）在圖3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
          則AB+AD=______AC（用含α的三角函數(shù)表示）．

          材料③：
          已知：如圖甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發(fā)沿線段BA向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿線段AC向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ，設運動的時間為t（s）（0＜t＜2）．

          編寫試題選取的材料是______（填寫材料的序號）
          編寫的試題是：（1）設△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關系式．
          （2）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值．
          （3）如圖（2），連接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四邊形PQP'C．是否存在某一時刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長．
          試題解答（寫出主要步驟即可）：（1）過點Q作QD⊥AP于點D，證△AQD∽△ABC，利用相似性質及面積解答；
          （2）分別求得Rt△ACB的周長和面積，由周長求出t，代入函數(shù)解析式驗證；
          （3）利用余弦定理得出PC、PQ，聯(lián)立方程，求得t，再代入PC解得答案．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學
				來源：2011-2012學年四川省九年級上學期10月月考數(shù)學卷
				題型：解答題
			
          

						
          已知：如圖1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s;點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s;連接PQ.若設運動的時間為t(s)(0<t<2).解答下列問題：
          


          


          1.①.當t為何值時，PQ∥BC?  
          


          2.②.設⊿AQP的面積為y(cm),求y與t之間的函數(shù)關系式；
          


          3.③.是否存在某一時刻t,使線段PQ恰好把Rt⊿ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
          


          4.④.如圖2，連接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四邊形PQC,那么是否存在某時刻t，使四邊形PQC為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由。
          


           
          

			
          

			
          
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