Question

已知拋物線y=（1-m）x²+4x-3開(kāi)口向下，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，其中x₁＜x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)x₁²+x₂²=10時(shí)，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=（1-m）x²+4x-3開(kāi)口向下，a=1-m＜0；因?yàn)閽佄锞�y=（1-m）x²+4x-3與x軸交于兩點(diǎn)，所以
b²-4ac=16+12（1-m）＞0；解不等式組即可求得m的取值范圍．
（2）∵x₁+x₂=-

4

1-m

，x₁•x₂=

-3

1-m

，∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（-

4

1-m

）²-2×

-3

1-m

=10，
解得m=-

3

5

或m=2，代入即可求得．

解答：解：（1）∵拋物線開(kāi)口向下，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴

1-m＜0 16+12(1-m)＞0

∴1＜m＜

7

3

；

（2）∵x₁，x₂是方程（1-m）x²+4x-3=0的兩根，
∴x₁+x₂=

-4

1-m

，x1x2=

-3

1-m

，
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
∴(

-4

1-m

)2+

6

1-m

=10，
∴5m²-7m-6=0，
∴m=-

3

5

或m=2，
又∵1＜m＜

7

3

，
∴m=2，故所求函數(shù)解析式為y=-x²+4x-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，同時(shí)還考查了根與系數(shù)的關(guān)系．