Question

【題目】如圖在平行四邊形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD，點(diǎn)F為DC中點(diǎn)，連接EF、BF，下列結(jié)論：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四邊形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正確的有_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，取AB的中點(diǎn)H連接FH．想辦法證明EF=FG，BE⊥BG，四邊形BCFH是菱形即可解決問(wèn)題．

如圖延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，取AB的中點(diǎn)H連接FH．

∵CD＝2AD，DF＝FC，

∴CF＝CB，

∴∠CFB＝∠CBF，

∵CD∥AB，

∴∠CFB＝∠FBH，

∴∠CBF＝∠FBH，

∴∠ABC＝2∠ABF．故①正確，

∵DE∥CG，

∴∠D＝∠FCG，

∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，

∴△DFE≌△FCG（AAS），

∴FE＝FG，

∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EBG＝90°，

∴BF＝EF＝FG，故②正確，

∵S△DFE＝S△CFG，

∴S四邊形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正確，

∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，

∴CF＝BH，∵CF∥BH，

∴四邊形BCFH是平行四邊形，

∵CF＝BC，

∴四邊形BCFH是菱形，

∴∠BFC＝∠BFH，

∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，

∴FH⊥BE，

∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，

∴∠EFC＝3∠DEF，故④正確，

故答案為：①②③④