Question

如圖，在正方形ABCD的對(duì)角線上取點(diǎn)E，使得∠BAE=15°，連接AE，CE．延長(zhǎng)CE到F，連接BF，使得BC=BF．若AB=1，則下列結(jié)論：①AE=CE；②F到BC的距離為

2

2

；
③BE+EC=EF；④S△AED=

1

4

+

2

8

；⑤S△EBF=

3

12

．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、2個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、5個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，證△ABE≌△CBE，即可判斷①；過F作FH⊥BC于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出FH；過A作AM⊥BD交于M，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)三角形的面積公式即可求出高AM，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答：解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∴①正確；
∵過F作FH⊥BC于H，
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴FH=

1

2

BF=

1

2

，∴②錯(cuò)誤；
∵Rt△BHF中，
FH=

1

2

，BF=1，
∴CF=

( 1 2 )2+(1+ 3 2 )2

=2+

3

∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴AE=CE，

在EF上取一點(diǎn)N，使BN=BE，
又∵∠NBE=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE為等邊三角形，
∴∠ENB=60°，
又∵∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，
又∵∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，
又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
可證△FBN≌△CBE，
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，
∴③正確；
過A作AM⊥BD交于M，
根據(jù)勾股定理求出BD=

2

，
由面積公式得：

1

2

AD×AB=

1

2

BD×AM，
AM=

1

2

=

2

2

，
∵∠ADB=45°，∠AED=60°，
∴DM=

2

2

，EM=

6

6

，
∴S_△AED=

1

2

DE×AM=

1

4

+

3

12

，∴④錯(cuò)誤；
S_△EBF=S_△FBC-S_△EBC=

1

2

×1×

1

2

-

1

2

×1×[1-

( 1 4 + 3 12 )×2

1

]=

3

12

，∴⑤正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．