Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運(yùn)動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運(yùn)動，速度為2cm/s，當(dāng)一個運(yùn)動點到達(dá)終點時，另一個運(yùn)動點也隨之停止運(yùn)動．

（1）求AC、BC的長；

（2）設(shè)點P的運(yùn)動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm²），當(dāng)△PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當(dāng)點Q在CA上運(yùn)動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC是否相似？請說明理由；

（4）當(dāng)x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM的周長最小，若存在，求出最小周長；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

8,6；0＜x≤3；16

【解析】

試題分析： （1）設(shè)AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，

即：（4x）²+（3x）²=10²，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①當(dāng)點Q在邊BC上運(yùn)動時，過點Q作QH⊥AB于H，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，

∴，

∴QH=x，y=BP?QH=（10﹣x）?x=﹣x²+8x（0＜x≤3），

②當(dāng)點Q在邊CA上運(yùn)動時，過點Q作QH′⊥AB于H′，

∵AP=x，

∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，

∴，即：，解得：QH′=（14﹣x），

∴y=PB?QH′=（10﹣x）?（14﹣x）=x²﹣x+42（3＜x＜7）；

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=；

（3）∵AP=x，AQ=14﹣x，

∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，

∴，即：，

解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴，

∴當(dāng)點Q在CA上運(yùn)動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC不相似；

（4）存在．

理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，

∴PQ是△ABC的中位線，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，

∴PQ是AC的垂直平分線，∴PC=AP=5，

∴當(dāng)點M與P重合時，△BCM的周長最小，

∴△BCM的周長為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周長最小.

考點：二次函數(shù)的綜合題

點評：此題將用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動點問題和最小值問題相結(jié)合，有較大的思維跳躍，考查了同學(xué)們的應(yīng)變能力和綜合思維能力，是一道好題．