Question

如圖1，E是等腰Rt△ABC邊AC上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E與A、C不重合），以CE為一邊在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，連接AD，BE．我們探究下列圖中線段AD、線段BE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：

（1）①猜想如圖1中線段AD、線段BE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；
②將圖1中的等腰Rt△CDE繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度a，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷．

（2）將原題中等腰直角三角形改為直角三角形（如圖6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （a≠b，k＞0），第（1）題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．
（3）在第（2）題圖5中，連接BD、AE，且a=4，b=3，k=

1

2

，求BD²+AE²的值．

Answer 1

分析：（1）①AD與BE相等且垂直；
②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CE，再求出∠ACD=∠BCE，再利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=BE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CAD=∠CBE，設(shè)AD、BE交點(diǎn)為G，再求出∠ABG+∠BAG=90°，然后得到∠AGB=90°，從而得證；
（2）先求出∠ACD=∠BCE，然后利用夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例判定出△ACD和△BCE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠CAD=∠CBE，設(shè)AD、BE交點(diǎn)為G，再求出∠ABG+∠BAG=90°，然后得到∠AGB=90°，但相似三角形對應(yīng)邊不一定相等；
（3）根據(jù)勾股定理求出AG²+BG²=AB²，DG²+EG²=DE²，然后求出BD²+AE²=AB²+DE²，然后利用勾股定理求出AB²，DE²，然后進(jìn)行計算即可得解．

解答：解：（1）①如圖1，結(jié)論：AD=BE，AD⊥BE；
②如圖2AD=BE，AD⊥BE仍然成立．
∵△ABC、△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
設(shè)AD、BE交點(diǎn)為G，
則∠ABG+∠BAG=∠ABG+∠BAC+∠CAD
=∠ABG+∠BAC+∠CBE
=∠CAB+∠CBA
=90°，
∴∠AGB=180°-（∠ABG+∠BAG）=180°-90°=90°，
∴AD⊥BE；

（2）如圖5，AD⊥BE成立，AD=BE不成立．
∵△ABC、△DEF是直角三角形，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
∵AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb，
∴

AC

BC

=

CD

CE

=

a

b

，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，

AD

BE

=

AC

BC

=

a

b

，
∵a≠b，
∴AD=BE不成立，
設(shè)AD、BE交點(diǎn)為G，
則∠ABG+∠BAG=∠ABG+∠BAC+∠CAD
=∠ABG+∠BAC+∠CBE
=∠CAB+∠CBA
=90°，
∴∠AGB=180°-（∠ABG+∠BAG）=180°-90°=90°，
∴AD⊥BE；

（3）在Rt△ABG中，AG²+BG²=AB²，
在Rt△DEG中，DG²+EG²=DE²，
∴AB²+DE²=AG²+BG²+DG²+EG²=（BG²+DG²）+（AG²+EG²）=BD²+AE²，
∵a=4，b=3，k=

1

2

，
∴AC=a=4，BC=b=3，CD=ka=2，CE=kb=

3

2

，
根據(jù)勾股定理，AB²=AC²+BC²=4²+3²=25，
DE²=CD²+CE²=2²+（

3

2

）²=

25

4

，
∴BD²+AE²=25+

25

4

=

125

4

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，（3）利用勾股定理把邊的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵．