Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)D是

BC

的中點(diǎn)，PD切⊙O于點(diǎn)D．
（1）求證：DP⊥AP；
（2）若PD=12，PC=8，求⊙O的半徑R的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接BC、OD，相交于點(diǎn)E；
∵點(diǎn)D是

BC

的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴∠CED=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∵∠ACB=90°，
∵PD為⊙O的切線，
∴OD⊥PD，
∴∠PDE=90°
∴四邊形PDEC為矩形，
∴DP⊥AP；

（2）由（1）可知四邊形PDEC為矩形，
∴PD=CE=12，
∴BC=2CE=24；
∵PD²=PC•PA，
∴PA=

PD2

PC

=

122

8

=18，
∴AC=PA-PC=18-8=10；
∵AB²=AC²+BC²=10²+24²=676，
∴AB=26，
∴⊙O的半徑R=13．