Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，C在y軸正半軸上，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．

(1)求點(diǎn)B坐標(biāo)；

(2)如圖2，點(diǎn)P從B出發(fā)，沿線段BC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，用含t的式子表示三角形△OBP的面積S；

(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)Q從O出發(fā)，在線段OC上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，以PQ為一邊，在第二象限作等邊△PQM，作ME⊥y軸于E，點(diǎn)D為PC中點(diǎn)，作DN⊥BC交y軸于N，若CE＝BP，BC＝4，求N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B(﹣6，0)；（2）S＝3t；（3）N(0，﹣)．

【解析】

(1) 由A(2，0)，可得OA＝2，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AC 、AB即可解決問題；

(2)如圖1，作高線PG，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)可得PG的長(zhǎng)為t，利用三角形面積公式可得S；

(3)如圖2，作輔助線，證明△PCN是等邊三角形，再證明△MPC≌△QPN(SAS)，得QN＝CM，∠MCP＝∠QNP＝60°，得到30度的直角△MCE，并求得CM＝QN＝2，根據(jù)CE＝BP可得結(jié)論．

解：(1)∵A(2，0)，

∴OA＝2，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝60°，

∴∠ACO＝30°，

∴AC＝2OA=4，

∴AB＝2AC＝8，

∴OB＝8﹣2＝6，

∴B(﹣6，0)．

(2)如圖1，過P作PG⊥x軸于G，

由題意得：BP＝2t，

Rt△BPG中，∠B＝30°，

∴PG＝BP＝t，

∴S＝＝×6×t＝3t；

(3)如圖2，連接PN、CM．

∵BP＝2t，BC＝4，

∴PC＝4﹣2t，

∵D是PC的中點(diǎn)，

∴PD＝CD，

∵DN⊥PC，

∴PN＝CN，

∵∠PCN＝60°，

∴△PCN是等邊三角形，

∴PC＝PN＝CN＝4﹣2t，∠NPC＝60°，

∵△PQM是等邊三角形，

∴PM＝PQ，∠MPQ＝60°，

∴∠MPQ＝∠CPN＝60°，

∴∠MPC＝∠QPN，

∴△MPC≌△QPN(SAS)，

∴QN＝CM，∠MCP＝∠QNP＝60°，

∵∠PCN＝60°，

∴∠MCE＝60°，

∵OC＝2，OQ＝2t，

∴CQ＝2﹣2t，

∴QN＝CN﹣CQ＝4﹣2t﹣(2﹣2t)＝2，

∴CM＝QN＝2，

Rt△MCE中，∠MCE＝60°，

∴CE＝CM＝，

∵CE＝BP＝2t＝，

∴ON＝QN﹣OQ＝2﹣2t＝2﹣＝，

∴N(0，﹣)．