Question

如圖，矩形紙片ABCD，點E是AB上一點，且BE：EA=5：3，EC=10

5

，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，設這個點為F，則
（1）AB=

16

，BC=

20

；
（2）若⊙O內(nèi)切于以F、E、B、C為頂點的四邊形，則⊙O的面積=

400

9

π

．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD為矩形，得到四個角為直角，對邊相等，根據(jù)BE：EA=5：3，設BE=5k，則EA=3k，同時由DC=BC=AE+EB表示出DC，由折疊可知EF=EB=5k，在直角三角形AEF中，根據(jù)勾股定理得到AF=4k，同時得到∠EFC=∠B=90°，根據(jù)平角的定義得到一對角互余，在直角三角形AEF中得到一對銳角互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠DFC=∠AEF，又∵∠A=∠D=90°，利用兩對對應角相等的三角形相似可得出三角形AEF與三角形CFD相似，根據(jù)相似得比例，將表示出AF，AE，及DC代入，表示出FD，由AF+FD表示出AD，即為BC的長，在直角三角形EBC中，表示出的EB，BC，以及EC的長，利用勾股定理列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，進而確定出AB及BC的長；
（2）連接OM，ON，由圓O為四邊形的內(nèi)切圓，得到AB與圓O相切，BC與圓O相切，根據(jù)三個角為直角的四邊形為矩形可得出BMON為矩形，再由OM=ON，得到OMBN為正方形，設圓的半徑為r，則有OM=BM=r，由OM與BC垂直，EB與BC垂直得到一對直角相等，再由一對公共角相等，得到三角形OMC與三角形EBC相似，根據(jù)相似得比例，將各自的值代入得到關于r的方程，求出方程的解得到r的值，進而利用圓的面積公式求出圓O的面積．

解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC，AD=BC，
由BE：EA=5：3，設BE=5k，則EA=3k，
由折疊可知：EF=BE=5k，∠EFC=∠B=90°，
在Rt△AEF中，AE=3k，EF=5k，
根據(jù)勾股定理得：AF=4k，
又∵∠AFE+∠DFC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DFC=∠AEF，又∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DFC，
∴

AE

DF

=

AF

DC

，又AE=3k，AF=4k，DC=AB=AE+EB=8k，
∴DF=6k，
∴BC=AD=AF+FD=4k+6k=10k，
在Rt△EBC中，EC=10

5

，BC=10k，EB=5k，
根據(jù)勾股定理得：EC²=EB²+BC²，即500=25k²+100k²，
解得：k=2或k=-2（舍去），
則AB=8k=16，BC=10k=20；

（2）連接OM，ON，如圖所示：

∵圓O為四邊形BEFC的內(nèi)切圓，
∴AB與圓O相切于點N，BC與圓O相切于M點，
∴∠ONB=∠OMB=90°，又∠B=90°，
∴四邊形OMBN為矩形，又OM=ON，
∴四邊形OMBN為正方形，設圓的半徑為r，
∴OM=BM=r，又BC=20，
∴MC=BC-BM=20-r，
又∵∠OMC=∠B=90°，且∠OCM=∠ECB，
∴△OMC∽△EBC，
∴

OM

EB

=

MC

BC

，即

r

10

=

20-r

20

，
整理得：20r=200-10r，解得：r=

20

3

，
則圓O的面積S=πr²=

400

9

π．
故答案為：（1）16；20；（2）

400

9

π

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關鍵，同時本題的知識綜合性較強，要求學生把所學的知識能融匯貫穿，靈活運用，注意平時常添的輔助線的利用．