Question

【題目】如圖，在⊙O的內(nèi)接三角形ABC中，，，過(guò)C作AB的垂線l交⊙O于另一點(diǎn)D，垂足為E.設(shè)P是上異于A，C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F，連接PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G.

（1）求證：；

（2）若, ,求PD的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個(gè)角相等或邊長(zhǎng)成比例．因?yàn)轭}中由圓周角易知一對(duì)相等的角，那么另一對(duì)角相等就是我們需要努力的方向，因?yàn)樯婕皥A，傾向于找接近圓的角∠DPF，利用補(bǔ)角在圓內(nèi)作等量代換，等弧對(duì)等角等知識(shí)易得∠DPF=∠APC，則結(jié)論易證．
（2）求PD的長(zhǎng)，且此線段在上問(wèn)已證相似的△PDF中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應(yīng)有的思路．利用已知條件易得其他邊長(zhǎng)，則PD可求．

解：（1）∵四邊形APCB內(nèi)接于圓O，
∴∠FPC=∠B．
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE，∠ACE=∠APD，
∴∠APD=∠FPC，∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC，即∠APC=∠FPD，
又∵∠PAC=∠PDC，
∴△PAC∽△PDF；
（2）如圖1，連接PO，

則由 ,，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都為等腰直角三角形．在Rt△ABC中，
∵AC=2BC，
∴AB2=BC2+AC2=5BC2，
∵AB=5，
∴BC= ，
∴AC=2，
∴CE=ACsin∠BAC=AC=2=2，
AE=ACcos∠BAC=AC=2=4，
∵△AEF為等腰直角三角形，
∴EF=AE=4，
∴FD=FC+CD=（EF-CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．
∵△APO為等腰直角三角形，AO=AB=，
∴AP=．
∵△PDF∽△PAC，
∴=，
∴=，
∴PD=．