Question

【題目】（1）已知是直角三角形，，，直線l經過點，分別從點、向直線l作垂線，垂足分別為、．當點，位于直線l的同側時（如圖，易證．如圖2，若點在直線l的異側，其它條件不變，是否依然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

（2）變式一：如圖3，中，，直線l經過點，點、分別在直線l上，點、位于l的同一側，如果，求證：．

（3）變式二：如圖4，中，依然有，若點，位于l的兩側，如果，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）成立，理由見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）K型全等模型的基本型，通過在△ACE和△ADB中利用角的互余關系證明等角，從而證明全等；

（2）一線三角的基本型，通過△AEC和△ADB中內角和180°證明等角，從而證明全等；

（3）一線三角的變式，通過△ADB和△ACE中內角和與外角的關系證明等角，從而證明全等．

（1）成立，理由如下：

在Rt△ADB中，∠ABD＋∠BAD＝90°

在Rt△AEC中，∠CAE＋∠ACE＝90°

∵∠BAC＝90°

∴∠BAD＋∠EAC＝90°

∴∠ABD＝∠CAE

∵AB＝AC

∴△AEC≌△ABD（AAS）

（2）在△ABD中，∠D＋∠BAD＋∠ABD＝180°

在△BEC中，∠E＋∠CEA＋∠EAC＝180°

∵∠CAE＋∠CAB＋∠BAD＝180°

∴∠E＝∠D，∠CAE＝∠ABD

∴△ACE≌△ADB（AAS）

（3）如圖4,設∠ABC＝，∠BFD＝

∵∠BDA＋∠BAC＝180°，∠BDA＝∠AEC

∴∠BDA＝∠AEC＝2

∴∠DBF＝2

∴∠ABD＝

∴∠EAC＝

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴CE＝AD，AE＝BD

∵AE＝AD＋DE

∴BD＝CE＋DE