Question

（2014•寶山區(qū)一模）如圖△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm；△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm．現(xiàn)將△DEF的直角邊DF與△ABC的斜邊AB重合在一起，并將△DEF沿AB方向移動(dòng)（如圖）．在移動(dòng)過(guò)程中，D、F兩點(diǎn)始終在AB邊上（移動(dòng)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，一直移動(dòng)至點(diǎn)F與點(diǎn)B重合為止）．
（1）在△DEF沿AB方向移動(dòng)的過(guò)程中，有人發(fā)現(xiàn)：E、B兩點(diǎn)間的距離隨AD的變化而變化，現(xiàn)設(shè)AD=x，BE=y，請(qǐng)你寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及其定義域．
（2）請(qǐng)你進(jìn)一步研究如下問(wèn)題：
問(wèn)題①：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，E、B的連線與AC平行？
問(wèn)題②：在△DEF的移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得∠EBD=22.5°？如果存在，求出AD的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
問(wèn)題③：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段AD、EB、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？

Answer 1

分析：（1）在直角△ABC中，由“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求得AB=10cm；在直角△EBD中，利用勾股定理列出y與x的函數(shù)關(guān)系，由線段AB、DF的長(zhǎng)度來(lái)確定x的取值范圍；
（2）問(wèn)題①：因?yàn)椤螩=90°，∠A=30°，BC=5cm，所以AB=10cm，又因?yàn)椤螰DE=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，所以DE=4cm，連接EB，設(shè)BE∥AC，則可求證∠EBD=∠A=30°，故AD的長(zhǎng)度可求；
問(wèn)題②：當(dāng)∠EBD=22.5°時(shí)，利用三角形外角的性質(zhì)求得∠BEF=22.5°，則∠EBD=∠BEF，故BF=EF=3

2

，AD=BD-BF-DF=7-3

2

（cm）；
問(wèn)題③：分情況討論：EB為斜邊；AD為斜邊；BC為斜邊．綜合分析即可求得AD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖，連接EB．
∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，
∴AB=2BC=10cm．
又∵在△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm，
∴DF=DE=3cm．
∴在直角△BED中，BE²=ED²+BD²=ED²+（10-AD）²，
即y²=3²+（10-x）²，
∴y=

x2-20x+109

．
∵AB=10cm，DF=3cm．
∴0≤AD≤7，即0≤x≤7．
綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及其定義域分別是：y=

x2-20x+109

（0≤x≤7）；

（2）問(wèn)題①：AD=（10-3

3

）cm時(shí)，BE∥AC．理由如下：
設(shè)EB∥AC，則∠EBD=∠A=30°，
∴在Rt△EBD中，DB=3

3

cm
∴AD=AB-BD=（10-3

3

）cm
∴AD=（10-3

3

）cm時(shí)，BE∥AC；
問(wèn)題②：在△DEF的移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)AD=（7-3

2

）cm時(shí)，使得∠EBD=22.5°．理由如下：
假設(shè)∠EBD=22.5°．
∵在△DEF中，∠D=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，
∴EF=3

2

cm，∠DEF=∠DFE=45°，DE=DF=3cm．
又∵∠DFE=∠FEB+∠FBE=45°，
∴∠EBD=∠BEF，
∴BF=EF=3

2

，
∴AD=BD-BF-DF=7-3

2

（cm）．
∴在△DEF的移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)AD=（7-3

2

）cm時(shí)，使得∠EBD=22.5°；
問(wèn)題③：i）當(dāng)EB為斜邊時(shí)．
由AD²+BC²=EB²得，x²+5²=（10-x）²+9，
解得，x=4.2，即AD=4.2cm．
∵由（1）知，0≤x≤7，
∴AD=4.2cm符合題意；
ii）當(dāng)AD為斜邊時(shí)．
由EB²+BC²=AD²得，（10-x）²+9+5²=x²，
解得，x=6.7，即AD=6.7cm．
∵由（1）知，0≤x≤7，
∴AD=6.7cm符合題意；
iii）當(dāng)BC為斜邊時(shí)，
由AD²+EB²=BC²得，x²+（10-x）²+9=25，即x²-10x+42=0，該方程無(wú)解．
綜合i）、ii）、iii）得，當(dāng)AD的長(zhǎng)為4.2cm或6.7cm時(shí)，以線段AD、EB、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題把等腰三角形的判定、勾股定理和勾股定理的逆定理結(jié)合求解．綜合性強(qiáng)，難度大．考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．注意解題的方法不惟一，可讓學(xué)生采用不同方法求解，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．