Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠BOC=108°，過點C作直線CD分別交直線AB和⊙O于點D、E，連接OE，DE=AB，OD=2 。 （1）求∠CDB的度數； （2）我們把有一個內角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形。它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金分割比。 ①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個說明理由； ②求弦CE的長； ③在直線AB或CD上是否存在點P（點C、D除外），使△POE是黃金三角形？若存在，畫出點P，簡要說明畫出點P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直徑，DE=AB， ∴OA=OC=OE=DE. 則∠EOD=∠CDB， ∠OCE=∠OEC.  設∠CDB=x，則∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x. 又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°. ∴x+2x=108，x=36°. ∴∠CDB=36°； （2）①有三個：△DOE， △COE， △COD. ∵OE=DE， ∠CDB=36°， ∴△DOE是黃金三角形； ②∵△COD是黃金三角形，∴  ∵OD=2，∴OC=-1. ∵CD=OD=2，DE=OC=-1， ∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-； ③存在，有三個符合條件的點P1、P2、P3（如圖所示）。 �。┮設E為底邊的黃金三角形：作OE的垂直平分線 分別交直線AB、CD得到點P1、P2 。 ⅱ）以OE為腰的黃金三角形：點 P3與點A重合。