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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】已知拋物線軸交于A、B兩點(A在B的左側),且A、B兩點的橫坐標是方程-12=0的兩個根.拋物線與軸的正半軸交于點C,且OC=AB.

          (1)求A、B、C三點的坐標;

          (2)求此拋物線的解析式;

          (3)連接AC、BC,若點E是線段AB上的一個動點(與點A、點B不重合),過點E作EF∥AC交BC于點F,連接CE,設AE的長為,△CEF的面積為S,求S與之間的函數關系式;

          (4)對于(3),試說明S是否存在最大值或最小值,若存在,請求出此值,并求出此時點E的坐標,判斷此時△BCE的形狀;若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8);

          (2)拋物線的解析式為=-+8;

          (3)S=-。ǎ埃<8);

          (4)存在最大值; △BCE為等腰三角形.

          【解析】【試題分析】(1)解方程-12=0得到=-6, =2,得A(-6,0)、B(2,0),根據OC=AB,得C(0,8),即A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8);

          (2)將(1)中的三個坐標代入即可,即得解得,則所求拋物線的解析式為=-+8;

          (3)依題意,AE=,則BE=8-.EF∥AC,得△BEF∽△BAC,

          設BE邊上的高為,由相似三角形的性質“對應高的比等于相似比”, 得:BE邊上的高︰BA邊上的高=BE︰BA, 即︰OC=BE︰BA,

          ︰8=(8-)︰8,∴=8-.如圖,S=S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BEF 

          ×8×8-×8 =-。ǎ埃<8);

          (4)存在最大值.利用配方法求二次函數的極值,即S=-=-=-+8,得當=4時,S有最大值8, 即AE=4,

          ∴點E的坐標為E(-2,0),∵B(2,0),∴OC⊥EB且平行EB,

          即CE=CB,△BCE為等腰三角形.

          【試題解析】

          (1)由方程-12=0

          得(+6)(-2)=0,

          =-6, =2,

          由題意得A(-6,0)、B(2,0).AB=6-(-2)=8,

          ∵OC=AB且C點在軸的正半軸上,

          ∴C(0,8).∴A、B、C三點的坐標分別為:

          A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8);

          (2)∵點C(0,8)在拋物線上,

          =0時, =8,∴=8.

          將A(-6,0)、B(2,0)代入,

          ,

          解得,∴所求拋物線的解析式為=-+8;

          (3)依題意,AE=,則BE=8-

          ∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,

          設BE邊上的高為,

          ︰OC=BE︰BA,

          ︰8=(8-)︰8,

          =8-.如圖,

          S=S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BEF 

          ×8×8-×8

          化簡整理得S=-。ǎ埃<8);

          (4)存在最大值.∵S=-

          =-=-+8,

          ∵-<0,∴當=4時,S有最大值8,

          最大值=8. =4,即AE=4,

          ∴點E的坐標為E(-2,0),

          ∵B(2,0),∴OC⊥EB且平行EB,

          即CE=CB,

          ∴△BCE為等腰三角形.

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