【題目】已知拋物線與
軸交于A、B兩點(A在B的左側),且A、B兩點的橫坐標是方程
-12=0的兩個根.拋物線與
軸的正半軸交于點C,且OC=AB.
(1)求A、B、C三點的坐標;
(2)求此拋物線的解析式;
(3)連接AC、BC,若點E是線段AB上的一個動點(與點A、點B不重合),過點E作EF∥AC交BC于點F,連接CE,設AE的長為,△CEF的面積為S,求S與
之間的函數關系式;
(4)對于(3),試說明S是否存在最大值或最小值,若存在,請求出此值,并求出此時點E的坐標,判斷此時△BCE的形狀;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8);
(2)拋物線的解析式為=-
+8;
(3)S=-。ǎ埃
<8);
(4)存在最大值; △BCE為等腰三角形.
【解析】【試題分析】(1)解方程-12=0得到
=-6,
=2,得A(-6,0)、B(2,0),根據OC=AB,得C(0,8),即A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8);
(2)將(1)中的三個坐標代入即可,即得解得
,則所求拋物線的解析式為
=-
+8;
(3)依題意,AE=,則BE=8-
.EF∥AC,得△BEF∽△BAC,
設BE邊上的高為,由相似三角形的性質“對應高的比等于相似比”, 得:BE邊上的高︰BA邊上的高=BE︰BA, 即
︰OC=BE︰BA,
∴︰8=(8-
)︰8,∴
=8-
.如圖,S=S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BEF
=×8×8-
×8
-
=-
。ǎ埃
<8);
(4)存在最大值.利用配方法求二次函數的極值,即S=-=-
=-
+8,得當
=4時,S有最大值8, 即AE=4,
∴點E的坐標為E(-2,0),∵B(2,0),∴OC⊥EB且平行EB,
即CE=CB,△BCE為等腰三角形.
【試題解析】
(1)由方程-12=0
得(+6)(
-2)=0,
∴=-6,
=2,
由題意得A(-6,0)、B(2,0).AB=6-(-2)=8,
∵OC=AB且C點在軸的正半軸上,
∴C(0,8).∴A、B、C三點的坐標分別為:
A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8);
(2)∵點C(0,8)在拋物線上,
當=0時,
=8,∴
=8.
將A(-6,0)、B(2,0)代入,
得,
解得,∴所求拋物線的解析式為
=-
+8;
(3)依題意,AE=,則BE=8-
.
∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,
設BE邊上的高為,
即︰OC=BE︰BA,
∴︰8=(8-
)︰8,
∴=8-
.如圖,
S=S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BEF
=×8×8-
×8
-
,
化簡整理得S=-。ǎ埃
<8);
(4)存在最大值.∵S=-
=-=-
+8,
∵-<0,∴當
=4時,S有最大值8,
S最大值=8. =4,即AE=4,
∴點E的坐標為E(-2,0),
∵B(2,0),∴OC⊥EB且平行EB,
即CE=CB,
∴△BCE為等腰三角形.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系中,對稱軸平行與
軸的拋物線過點
、
和
.
()求拋物線的表達式.
()現將此拋物線先沿
軸方向向右平移
個單位,再沿
軸方向平移
個單位,若所得拋物線與
軸交于點
、
(點
在點
的左邊),且使
(頂點
、
、
依次對應頂點
、
、
),試求
的值,并說明方向.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】運算結果是x4y2-2x2y+1的是( )
A. (-1+x2y2)2B. (1+x2y2)2
C. (-1+x2y)2D. (-1-x2y)2
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,∠ABC=30°,ED⊥AB于點F,CD切⊙O于點C,交EF于點D.
(1)∠E= °;
(2)△DCE是什么特殊三角形?請說明理由;
(3)當⊙O的半徑為1,BF=時,求證△DCE≌△OCB.
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