Question

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，∠BAC的平分線分別交BC、CD于點E、F．
（1）求證：△ACF∽△ABE；
（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余和CD是斜邊上的高可以得到∠ACD=∠B，再根據(jù)AE是∠BAC的平分線可以得到∠CAE=∠EAB，利用兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明；
（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AC

AB

=

AF

AE

，代入數(shù)據(jù)計算即可．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，
∴∠ACD=90°-∠DCB，∠B=90°-∠DCB，
∴∠ACD=∠B，（2分）
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，（3分）
∴△ACF∽△ABE；（7分）

（2）解：∵△ACF∽△ABE，
∴

AC

AB

=

AF

AE

，（9分）
∴AE=

AB•AF

AC

=

10×3

6

=5cm．（10分）

點評：解答本題需要熟練掌握相似三角形的判定方法和相似三角形的對應(yīng)邊成比例．