Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（2，0）、（1，3

3

）．將△AOC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置，拋物線y=ax²-2

3

x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求證：四邊形ABCO是平行四邊形；
（2）求a的值并說(shuō)明點(diǎn)B在拋物線上；
（3）若點(diǎn)P是線段OA上一點(diǎn)，且∠APD=∠OAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，以P、A、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點(diǎn)在y軸上，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△AOC≌△ABC，由此可得出四邊形AOCB的兩組對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等．由此可得證．
（2）由于拋物線過(guò)A點(diǎn)，因此可將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可得出a的值和拋物線的解析式．
要判斷B是否在拋物線的解析式上，首先要求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由于四邊形APCB是平行四邊形，OA=2，因此將C點(diǎn)向右平移2個(gè)單位即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判斷出B是否在拋物線上．
（3）先根據(jù)（2）的拋物線的解析式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出OB、AD的長(zhǎng)，當(dāng)∠APD=∠OAB時(shí)，可得出△APD∽△OAB，進(jìn)而可得出關(guān)于AP，AD、OA、OB的比例關(guān)系式．設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用P的橫坐標(biāo)表示出AP的長(zhǎng)，即可根據(jù)上面的比例關(guān)系式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）①如第一個(gè)圖：此時(shí)QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；
②如第二個(gè)圖：此時(shí)OP=OA+AP=3，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；
③如第三個(gè)圖：此時(shí)D，Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

3

），根據(jù)A，D的坐標(biāo)可求出直線AD的解析式為y=

3

x-2

3

，由于QP∥AD，因此直線PQ的解析式為y=

3

x+

3

，可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）．

解答：（1）證明：∵△AOC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，
點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置，
∴△ACO≌△CAB．
∴AO=CB，CO=AB，
∴四邊形ABCO是平行四邊形．

（2）解：∵拋物線y=ax²-2

3

x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），
∴4a-4

3

=0，
解得：a=

3

．
∴y=

3

x²-2

3

x．
∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴OA∥CB．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3

3

），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3

3

）．
把x=3代入此函數(shù)解析式，得：y=

3

×3²-2

3

×3=3

3

．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式，點(diǎn)B在此拋物線上．
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-

3

）．

（3）連接BO，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F．
tan∠BOE=

3

，tan∠DAF=

3

，
∴tan∠BOE=tan∠DAF．
∴∠BOE=∠DAF．
∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），
∴

AP

OA

=

AD

OB

，
∴

2-x

2

=

2

6

，
解得：x=

4

3

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

4

3

，0）．

（4）
分三種情況進(jìn)行討論：
①如第一個(gè)圖：此時(shí)QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；
②如第二個(gè)圖：此時(shí)OP=OA+AP=3，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；
③如第三個(gè)圖：此時(shí)D，Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

3

），根據(jù)A，D的坐標(biāo)可求出直線AD的解析式為y=

3

x-2

3

，由于QP∥AD，因此直線PQ的解析式為y=

3

x+

3

，可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）．
綜上所述，共有3個(gè)符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，即P₁（1，0），P₂（-1，0），P₃（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形相似、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．