Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+4與拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c是常數(shù)）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上．設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），

①如圖2，若點(diǎn)P在直線AB上方，連接OP交AB于點(diǎn)D，求的最大值；

②如圖3，若點(diǎn)P在x軸的上方，連接PC，以PC為邊作正方形CPEF，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)E或F恰好落在y軸上，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①；②P點(diǎn)坐標(biāo)（，），（， ），（，2 ）（，2 ）

【解析】

（1）利用直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

（2）作PF∥BO交AB于點(diǎn)F，證△PFD∽△OBD，得比例線段，則PF取最大值時(shí)，求得的最大值；

（3）（i）點(diǎn)F在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明△CPH≌△FCO，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PH=CO=2，然后利用二次函數(shù)解析式求解即可；（ii）點(diǎn)E在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PK⊥x軸于K，作PS⊥y軸于S，同理可證得△EPS≌△CPK，可得PS=PK，則P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)E在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，同理可證得△PEN≌△PCM，可得PN=PM，則P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）直線y＝x+4與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，x＝﹣4時(shí)，y＝0，

∴A（﹣4，0），B（0，4），

把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，，解得，，

∴拋物線的解析式為 ；

（2）①如圖1，作PF∥BO交AB于點(diǎn)F，

∴△PFD∽△OBD，

∴，

∵OB為定值，

∴當(dāng)PF取最大值時(shí)，有最大值，

設(shè)P（x，），其中﹣4＜x＜0，則F（x，x+4），

∴PF＝＝，

∵且對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣2，

∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，PF有最大值，

此時(shí)PF＝2，；

②∵點(diǎn)C（2，0），

∴CO＝2，

（i）如圖2，點(diǎn)F在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，

在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，

∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，

∴∠HPC＝∠OCF，

在△CPH和△FCO中，，

∴△CPH≌△FCO（AAS），

∴PH＝CO＝2，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，

∴，

解得，，

∴，，

（ii）如圖3，點(diǎn)E在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PK⊥x軸于K，作PS⊥y軸于S，

同理可證得△EPS≌△CPK，

∴PS＝PK，

∴P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

∴，

解得x＝2（舍去），x＝﹣2，

∴，

如圖4，點(diǎn)E在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，

同理可證得△PEN≌△PCM

∴PN＝PM，

∴P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，

∴，

解得，（舍去），

∴，

綜合以上可得P點(diǎn)坐標(biāo)（，），（， ），（，2 ）（，2 ）．