Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點R（1，0），點K（4，4），直線y＝－ x＋b過點K ， 分別交x軸、y軸于U、V兩點，以點R為圓心， RK為半徑作⊙R ， ⊙R交x軸于A.

（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、B（－2，0）、C（0，－8），求二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷直線UV與⊙R的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若動點P、Q同時從A點都以相同的速度分別沿AB、AC邊運動，當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E ， 使得以A、E、Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出E點坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

由K（4,4），R（1,0），

則RK=，

則OA＝6，∴A（6，0），

設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋2)(x－6)，

把C（0，－8）代入得－8＝a(0＋2)(0－6)，

解得a＝

∴y＝ (x＋2)(x－6)＝ x2－ x－8

（2）

直線UV與⊙R相切

理由如下：

∵點K（4，4），直線y＝－x＋b過點K，∴b＝7

對于y＝－x＋7，當x＝0時，y＝7；當y＝0時，x＝

∴U（，0），V（0，7），∴OU＝，OV＝7

連接RK，過K作KH⊥x軸于H

則RH＝3，UH＝－4＝，KH＝4

∴ ＝ ＝，

又∠RHK＝∠KHU＝90°，∴△RKH∽△KUH

∴∠KRH＝∠UKH

∵∠RKH＋∠KRH＝90°，∴∠RKH＋∠UKH＝90°

即RK⊥UV

∴直線UV與⊙R相切

（3）

存在

分三種情況討論：

①若EQ＝EA，作EG⊥AQ于G

則AG＝GQ＝AQ＝AB＝4

∵∠EAG＝∠CAO，∠AGE＝∠AOC＝90°

∴△EAG∽△CAO，∴＝

∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10

∴ ＝ ，∴AE＝ ，∴OE＝ －6＝

∴E1（－ ，0），

②若AE＝AQ＝8，則E2（－2，0），E3（14，0）

③QE＝QA，作QH⊥x軸于H，則QH∥y軸

∴＝，∴ ＝

∴AH＝ ，∴EH＝AH＝ ，OH＝6－ ＝ ，∴EO＝ － ＝

∴E4（－ ，0）

綜上，滿足條件的E點有四個，E1（－ ，0），E2（－2，0），E3（14，0），E4（－ ，0）

【解析】（1）要求拋物線解析式，先要求出點A的坐標，由OA=OR+RA，而RA是⊙R的半徑，由R（1,0），K（4,4）可求出半徑的長，從而可求得OA，即A的坐標，由A，B，是拋物線與x軸的交點，則可設(shè)兩點式y(tǒng)=a（x+2）(x-6)，再代入C的坐標，即可求出a的值；
（2）連接RK，則需證RK⊥UV ， 可先根據(jù)點K（4，4），直線y＝－x＋b過點K ， 求出點b值，再求出U，V的坐標；不能直接運用勾股定理證明△RKU是直角三角形，則可過K作KH⊥x軸于H ， 證明 ＝ ＝ ， 又∠RHK＝∠KHU＝90°，則△RKH∽△KUH ， 根據(jù)角的直角三角形的兩個銳角和為90度，即可轉(zhuǎn)換得到∠RKH＋∠UKH＝90°；
（3）此題需作分類討論：①若EQ＝EA ， 作EG⊥AQ于G ， 通過證明△EAG∽△CAO ， 由相應(yīng)邊成比例＝代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即可解出AE，則可得E的坐標；②若AE＝AQ＝8，由A的坐標直接可寫出E的坐標；③若QE＝QA ， 根據(jù)相似構(gòu)造平行線作QH⊥x軸于H ， 則QH∥y軸，則由平行線分線段成比例可得＝，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求出AH，則可求出點E的坐標.