Question

（2013•槐蔭區(qū)三模）如圖，已知直線l的解析式為y=-x+6，直線l與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，平行于直線l的直線n從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持n∥l，當(dāng)直線n與直線l重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．直線n與x軸，y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，以線段CD的中點(diǎn)P為圓心、CD為直徑，在CD上方作半圓，半圓面積為S．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，半圓與直線l相切？
（3）直線n在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②是否存在這樣的t值，使得半圓面積S=

π

4

S_梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）分別過(guò)點(diǎn)D、P作DE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，利用當(dāng)PF=PD時(shí)，半圓與l相切，求出即可；
（3）①由OA=OB=6，得出△AOB是等腰直角三角形，進(jìn)而得出PD的長(zhǎng)，即可得出答案；
②S_梯形ABCD=S_△AOB-S_△COD以及S=

π

4

S_梯形ABCD，求出即可．

解答：解：（1）∵y=-x+6，
令y=0，得0=-x+6，
解得：x=6．
∴A（6，0）．
令x=0，得y=6，
∴B（0，6）；

（2）分別過(guò)點(diǎn)D、P作DE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F．
AD=OA-OD=6-t，
在Rt△ADE中，
sin∠EAD=

DE

AD

，
DE=

2

2

•(6-t)，
∴PF=DE=

2

2

•(6-t)．
當(dāng)PF=PD時(shí)，半圓與l相切．
即

2

2

（6-t）=

2

2

t，
解得：t=3．
當(dāng)t=3時(shí)，半圓與l相切；

（3）①∵OA=OB=6，
∴△AOB是等腰直角三角形．
∵n∥l，
∴∠CDO=∠BAO=45°，
∴△COD為等腰直角三角形，
OD=OC=t．
CD=

OC2+OD2

=

t2+t2

=

2

t，
∴PD=

1

2

CD=

2

2

t，

1

2

πPD²=

1

2

π（

2

2

t）²=

1

4

πt²，
∴S=

π

4

t2(0＜t≤6)；
②存在．
∵S_梯形ABCD=S_△AOB-S_△COD=

1

2

×6×6-

1

2

t×t=18-

1

2

t²，
S=

1

4

πt2．
若S=

π

4

S_梯形ABCD，則

1

4

πt2=

π

4

(18-

1

2

t2)，
∴t²=12，
解得：t=2

3

＜6，
∴存在t=2

3

，使得S=

π

4

S_梯形ABCD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及等腰直角三角形的性質(zhì)和切線的判定等知識(shí)，根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．