Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知，將點(diǎn)A、B代入函數(shù)解析式，列得方程組即可求得b、c的值，求得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意可知，邊AC的長是定值，要想△QAC的周長最小，即是AQ+CQ最小，所以此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的位置，找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B，求得直線BC的解析式，求得與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即是所求；
（3）存在，設(shè)得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將△BCP的面積表示成二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

（2分）
∴

b=-2 c=3

（3分）
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；（4分）

（2）存在（5分）
理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱
∴直線BC與x=-1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)△AQC周長最小
∵y=-x²-2x+3
∴C的坐標(biāo)為：（0，3）
直線BC解析式為：y=x+3（6分）
Q點(diǎn)坐標(biāo)即為

x=-1 y=x+3

解得

x=-1 y=2

∴Q（-1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）
理由如下：設(shè)P點(diǎn)（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四邊形BPCO}-S_△BOC=S_{四邊形BPCO}-

9

2

若S_{四邊形BPCO}有最大值，則S_△BPC就最大，
∴S_{四邊形BPCO}=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}（9分）
=

1

2

BE•PE+

1

2

OE（PE+OC）
=

1

2

（x+3）（-x²-2x+3）+

1

2

（-x）（-x²-2x+3+3）
=-

3

2

(x+

3

2

)2+

9

2

+

27

8

當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，S_{四邊形BPCO}最大值=

9

2

+

27

8

∴S_△BPC最大=

9

2

+

27

8

-

9

2

=

27

8

（10分）
當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，-x²-2x+3=

15

4

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

3

2

，

15

4

）．（11分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意距離最短問題的求解關(guān)鍵是點(diǎn)的確定，還要注意面積的求解可以借助于圖形的分割與拼湊，特別是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．