Question

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，已知∠ADC=∠BCD，AD=BC，求證：AO=BO．

Answer 1

分析：要證明AO=BO，就要證明三角形AOB和BOC全等．在三角形AOB和BOC中，已知的條件有對頂角∠AOD=∠BOC，AD=BC，那么只需再得出一對應(yīng)角相等即可．那么我們可以通過證明三角形ADC和BCD全等來實(shí)現(xiàn)，已知的條件有∠ADC=∠BCD，AD=BC，公共邊CD，因此符合了SAS的條件，可得出∠DAC=∠DBC，這樣就湊齊了判定三角形AOB和BOC全等中的所有條件（AAS），這樣三角形AOB和BOC就全等了．

解答：證明：在△ADC和△BCD中
∵

AD=BC ∠ADC=∠BCD DC=CD

，
∴△ADC≌△BCD（SAS）．
∴∠DAO=∠CBO．
在△ADO和△BCO中，
∵

∠DAO=∠CBO ∠AOD=∠BOC AD=BC

∴△ADO≌△BCO（AAS）．
∴AO=BO．

點(diǎn)評：此題考查簡單的線段相等，可以通過全等三角形來證明，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．