Question

【題目】小強(qiáng)遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°, AD=2，BD=2DC，求AC的長．

小強(qiáng)發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E,通過構(gòu)造△ACE，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決（如圖2）．

（1）請回答：∠ACE的度數(shù)為 ，AC的長為 ．

參考小強(qiáng)思考問題的方法，解決問題：

（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC與BD交于點(diǎn)E，AE=2，BE=2ED，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）75°，AC的長為3；（2）.

【解析】

試題分析：(1)過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E,可知∠E=∠BAD=75°，因?yàn)?/span>∠CAD=30°,所以利用三角形內(nèi)角和可算出∠ACE的度數(shù)是75度，再利用平行線分線段成比例定理得出DE=1，AE=2+1=3,所以AC=AE=3；(2)先建立平行線，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．得到AB∥DF，由平行線分線段成比例定理得到，由AE=2，得EF=1，AF=3，在Rt△AFD中，由∠FAD=30°，可算出DF和AD的長度，又因?yàn)锳D=AC，于是可知道AB和AC的長度，再由勾股定理算出BC的長度即可.

試題解析：（1）過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E,由兩直線平行內(nèi)錯角相等可知∠E=∠BAD=75°，因?yàn)?/span>∠CAD=30°,所以利用三角形內(nèi)角和可算出∠ACE=180-75-30=75，再利用平行線分線段成比例定理得出CD:BD=ED:AD,因?yàn)锳D=2，BD=2DC，所以DE=1，于是AE=2+1=3,因?yàn)锳C=AE，所以AC的長為3；（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．

∵∠BAC=90°=∠DFA，∴AB∥DF，∴△ABE∽△FDE，∴，∵AE=2，∴EF=1，AF=2+1=3，AB=2DF．在△ACD中，∵∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴∠ACD=75°，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD．∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，在Rt△AFD中，∠FAD=30°，∴設(shè)DF=x, 則AD=2x，∴，解得：(舍去),∴DF=,AB=AC=AD=,∴BC==.