Question

有一張矩形紙片ABCD，已知AB=2，AD=5．把這張紙片折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)E處，折痕為MN，MN交AB于M，交AD于N．
（1）若BE=

2

，試畫出折痕MN的位置，并求這時(shí)AM的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)BE=x，AN=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）連接DE，是否存在這樣的點(diǎn)E，使得△AME與△DNE相似？若存在，請(qǐng)求出這時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，折疊前后線段相等，即AM=ME，再由勾股定理求得AM=

3

2

．
（2）仿（1）可求AM=

4+x2

4

．又根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證△AMN∽△BEA，得

AN

AB

=

AM

BE

，推出y=

x2+4

2x

，定義域?yàn)椋?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">5-

21

≤x≤2．
（3）可用分析法：若△AME與△DNE相似，可推出DN=NE=NA=

5

2

，進(jìn)而取得BE=1．

解答：解：（1）畫出正確的圖形．（折痕MN必須與AB、AD相交）
設(shè)AM=t，則ME=t，MB=2-t，由BM²+BE²=ME²，得t=

3

2

，即AM=

3

2

．


（2）如上圖（a），仿（1）得，AM=

4+x2

4

．
由△AMN∽△BEA，得

AN

AB

=

AM

BE

，推出y=

x2+4

2x

，
∵0＜x≤2，0＜y≤5，
x的取值范圍為：5-

21

≤x≤2．

（3）如上圖（b），若△AME與△DNE相似，不難得∠DNE=∠AME．
又因?yàn)锳M=ME，所以DN=NE=NA=

5

2

，所以

x2+4

2x

=

5

2

，
解得：x=1或x=4．
又∵5-

21

≤x≤2，故x=1．
或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，
推出△ABE∽△ECD，
從而得BE=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后線段相等．以及相似三角形的判定和勾股定理的運(yùn)用，是一道綜合性較強(qiáng)的題．