Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），B點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動點(diǎn)

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C（如圖1所示），那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形ABCP的面積最大，并求出其最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）；（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，），四邊形ABPC的面積的最大值為．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法直接將B、C兩點(diǎn)直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得拋物線解析式；

（2）利用菱形對角線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可以判斷P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣，令y＝﹣即可得x2﹣2x﹣3＝﹣，解該方程即可確定P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABCP的面積最大時(shí)，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線AC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ABCP的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCP的最大面積及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

∴y＝﹣x2+bx+3，

把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，

解得，b＝﹣2，

∴該二次函數(shù)解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在．如圖1，

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，

當(dāng)四邊形POP'C為菱形時(shí)，則有PC＝PO，連接PP′，則PE⊥CO于E，

∴OE＝CE＝，

令﹣x2﹣2x+3＝，

解得，x1＝﹣，x2＝（不合題意，舍去）．

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）．

（3）如圖2，過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OA交于點(diǎn)F，

設(shè)P（x，﹣x2﹣2x+3），設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+t，

則，

解得：，

∴直線AC的解析式為y＝x+3，

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3），

當(dāng)0＝﹣x2﹣2x+3，

解得：x1＝1，x2＝﹣3，

∴AO＝3，OB＝1，則AB＝4，

S四邊形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ

＝ABOC+QPOF+QPAF

＝×4×3+[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3

＝﹣（x+）2+．

當(dāng)x＝﹣時(shí)，四邊形ABCP的面積最大，

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，），四邊形ABPC的面積的最大值為．