Question

【題目】如圖，在中，，的垂直平分線分別與，及的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，，．是的外接圓，連接．

（1）求證：是的切線；

（2）若，求證：；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

(1)BD與⊙O相切，如圖1，連接OB證得∠DBO=90°，即可得到BD與⊙O相切；
(2)由垂直的定義可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，從而證得△ABC≌△EBF；
(3)如圖2，連接CF，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=+1，再利用相似三角形的性質(zhì)證明DEEF=BEEC即可解決問(wèn)題．

(1)如圖1，連接OB，

∵OB=OF，

∴∠OBF=∠OFB．

∵∠ABC=90°，AD=CD，

∴BD=CD，

∴∠C=∠DBC．

∵DF⊥AC，，

∴∠ADF=90，

∴∠C+∠A=∠BFE+∠A=90，

∵∠C=∠BFE，

∴∠DBC=∠OBF，

∵∠CBO+∠OBF=90°，

∴∠DBC+∠CBO=90°，

∴∠DBO=90°，

∴BD是⊙O的切線；

(2)由(1)得：∠C=∠BFE，

在△ABC與△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF(AAS)；

(3)如圖2，連接CF，

∵△ABC≌△EBF，∠CBF=90°，

∴BC=BF，

∴，

∵DF垂直平分AC，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵∠CED=∠BEF，∠CDE=∠EBF，

∴△CED∽△FEB，

∴，

∴．