Question

已知直線y=

1

2

x+b與x軸交于點A（-4，0），與y軸交于點B．
（1）求b的值；
（2）把△AOB繞原點O順時針旋轉90°后，點A落在y軸的A′處，點B若在x軸的B′處．
①求直線A′B′的函數關系式；
②設直線AB與直線A′B′交于點C，矩形PQMN是△AB′C的內接矩形，其中點P，Q在線段AB′上，點M在線段B′C上，點N在線段AC上．若矩形PQMN的兩條鄰邊的比為1：2，試求矩形PQMN的周長．

Answer 1

分析：（1）點A在直線上，直接代入即可得b；
（2）①根據旋轉性質確定旋轉后A′B′坐標，即可得解析式；
②根據幾何圖形，確定P、Q、M、N四點的關系即可確定周長．

解答：解：（1）由題意得
把A（-4，0）代入y=

1

2

x+b，
得

1

2

×(-4)+b=0，b=2；（3分）

（2）①由（1）得：y=

1

2

x+2，
令x=0，得y=2，
∴B（0，2）（4分）
由旋轉性質可知OA'=OA=4，OB'=OB=2
∴A'（0，4），B'（2，0）（5分）
設直線A'B'的解析式為y=ax+b，
把A'、B'分別代入得：

b′=4 2a+b′=0

，解得

a=-2 b′=4

∴直線A'B'的解析式為y=-2x+4；（7分）
②∵點N在AC上
∴可設N（x，

1

2

x+2）（-4＜x＜0）
∵四邊形PQMN為矩形
∴NP=MQ=

1

2

x+2（8分）
（�。┊擯N：PQ=1：2時
PQ=2PN=2(

1

2

x+2)=x+4
∴Q（x+4+x，0）
∴M（2x+4，

1

2

x+2）
∵點M在B'C上
∴-2(2x+4)+4=

1

2

x+2
解得x=-

4

3

此時，PQ=

8

3

∴矩形PQMN的周長為2(

4

3

+

8

3

)=8（10分）
（ⅱ）當PN：PQ=2：1時
PQ=

1

2

PN=

1

2

(

1

2

x+2)=

1

4

x+1
∴Q（

1

4

x+1+x，0）
M（

5

4

x+1，

1

2

x+2）
∵點M在B'C上
∴-2(

5

4

x+1)+4=

1

2

x+2
解得x=0
此時PN=2，PQ=1
∴矩形PQMN的周長為2（2+1）=6．（12分）
綜上所述，當PN：PQ=1：2時，矩形PQMN的周長為8．
當PQ：PN=1：2時，矩形PQMN的周長為6．（13分）

點評：本題考查待定系數法求一次函數及其坐標特征，并綜合幾何旋轉性質應用，是個綜合性比較高的題，要求要熟練掌握函數圖象性質．