Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）如果∠BAC=60°，AE=，求AC長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD,先證明OD∥AE，再利用DE⊥AE得到DE⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論.

（2）作OF⊥AC，可求出∠DAE=30°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OF=DE=4，在根據(jù)勾股定理求得AF，AC=2AF即可求得結(jié)果.

解： （1）證明：連接OD，如圖

∵∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，

∴∠BAD=∠DAC;

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA,

∴∠ODA=∠DAC;

∴OD∥AE;

∵DE⊥AE，

∴DE⊥OD，OD 為半徑;

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：作OF⊥AC于F，

∵∠BAC=60°，∴∠DAE=30°;

在Rt△ADE中，;

四邊形ODEF為矩形，

∴OF=DE=4;

在Rt△OAF中，∵∠OAF=60°，

∴;

∴AC=2AF=.