Question

（2012•慶陽）已知關于x的方程k²x²-2（k+1）x+1=0有兩個實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當k=1時，設所給方程的兩個根分別為x₁和x₂，求

x2

x1

+

x1

x2

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k²≠0且△=4（k+1）²-4k²≥0，然后解兩個不等式，求出它們的公共部分即可；
（2）先把k=1代入方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，然后把所求的代數(shù)式變形得到

x2

x1

+

x1

x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1•x2

，然后利用整體思想進行計算．

解答：解：（1）根據(jù)題意得k²≠0且△=4（k+1）²-4k²≥0，
解得k≥-

1

2

且k≠0；
（2）k=1時方程化為x²-4x+1=0，則x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，

x2

x1

+

x1

x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1•x2

=

16-2×1

1

=14．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系．