Question

如圖①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，點A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG、PC．

（1）求證：PG⊥PC，PG=

3

PC；
（2）將圖①中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，其他條件不變（如圖②），（1）中的結(jié)論仍然成立，請你說明理由；
（3）若圖①中∠ABC=∠BEF=α（0＜α＜180°），將菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，其他條件不變（如圖③），判斷PG與PC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）延長GP，交CD于點H，求出CH=CG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可推出CP⊥GP，求出∠CGP=30°，解直角三角形即可求出CP和PG的數(shù)量關(guān)系．
（2）思路同上，延長GP交AD于點H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明△GFP≌△HDP（得到P是HG中點）外還需證明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．
（3）證明GP⊥CP和（2）一樣，求出∠CGP=

1

2

α，解直角三角形即可求出CP和PG的數(shù)量關(guān)系．

解答：（1）證明：延長GP，交CD于點H，
∵四邊形ABCD與四邊形BEFG是菱形，
∴CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，
∵P是線段DF的中點，
∴DP=PF，
在△DPH和△FPG中，

∠PDH=∠PFG ∠DHP=∠PGF DP=PF

，
∴△DPH≌△FPG（AAS），
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，
即PG⊥PC；
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴CD∥AB，
∴∠DCB=120°，
∵CH=CG，
∴∠CGP=∠CHP=30°，
即在Rt△CPG中，tan30°=

CP

GP

，
∴PG=

3

PC．

（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化．
證明：如圖，延長GP交AD于點H，連接CH，CG，
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
∵AD∥FG，
∴∠GFP=∠HDP，
在△GFP和△HDP中

∠GFP=∠HDP PF=DP ∠GPF=∠DPH

∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．
由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，
∴∠GBC=60°．
∴∠HDC=∠GBC．
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF=GB=DH，
在△HDC和△GBC中

DC=BC ∠HDC=∠CBG BG=DH

∴△HDC≌△GBC（SAS）．
∴∠DCH=∠GCB，CH=CG，
∵PH=PG，
∴PG⊥PC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴CD∥AB，
∴∠DCB=120°，
∵∠HCD=∠GCB，
∴∠HCG=∠HCB+∠GCB=∠HCB+∠DCH=∠DCB=120°，
∵CH=CG，
∴∠CGP=∠CHP=30°，
即在Rt△CPG中，tan30°=

CP

GP

，
∴PG=

3

PC．

（3）解：PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥CP，數(shù)量關(guān)系是GP=

CP

tan 1 2 α

，
理由是：延長GP交AD于點H，連接CH，CG，
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
∵AD∥FG，
∴∠GFP=∠HDP，
在△GFP和△HDP中

∠GFP=∠HDP PF=DP ∠GPF=∠DPH

∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．
由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，
∴∠GBC=60°．
∴∠HDC=∠GBC．
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF=GB=DH，
在△HDC和△GBC中

DC=BC ∠HDC=∠CBG BG=DH

∴△HDC≌△GBC（SAS）．
∴∠DCH=∠GCB，CH=CG，
∵PH=PG，
∴PG⊥PC，
∵菱形ABCD，∠ABC=α，
∴CD∥AB，
∴∠DCB=180°-α，
∵∠HCD=∠GCB，
∴∠HCG=∠HCB+∠GCB=∠HCB+∠DCH=∠DCB=180°-α，
∵CH=CG，
∴∠CGP=∠CHP=

1

2

[180°-（180°-α）]=

1

2

α，
即在Rt△CPG中，tan

1

2

α=

CP

GP

，
∴PG=

CP

tan 1 2 α

．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力，證明過程類似．