Question

已知在△ABC中，AB=2

3

，AC=2，BC邊上的高AD=

3

．
（1）求BC的長；
（2）若有一個正方形的一邊在AB上，另外兩個頂點分別在AC和BC上，求正方形的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中所給的條件，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，AD在△ABC內(nèi)部和外部；
（2）設(shè)正方形邊長為x，根據(jù)平行線比例關(guān)系，解得正方形邊長，從而求出正方形的面積．

解答：解：根據(jù)條件顯然有兩種情況，如圖，
（1）在圖（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，
∴∠B=30°，∠C=60°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC=4．
在圖（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，
∴∠BAD=60°，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD，
BC=AC=2．

（2）在圖（3）中，設(shè)正方形邊長為x，
∵

EG

AC

=

BE

AB

，
∴

x

2

=

2 3 -x

2 3

，
解得x=3-

3

，
∴S_正方形=12-6

3

（當(dāng)BC=4時），

在圖（4）中，當(dāng)BC=2時，
∵AC=2，
∴△ABC是等腰三角形，此時內(nèi)接正方形h是△ABC的AB邊上的高，
h=

22-( 3 )2

=1，
設(shè)正方形邊長為x，由△HGC∽△ABC得，

HG

AB

=

hx

h

，即

x

2 3

=

1-x

1

，
解得x=

2 3

2 3 +1

，
∴S_正方形=

156-48 3

121

（當(dāng)BC=2時）．

點評：本題在求解時應(yīng)分情況進(jìn)行討論，還考查解直角三角形的定義及正方形面積公式，由直角三角形已知元素求未知元素的過程，只要理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系即可求解．