Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，它與AB，BC，CA分別相切于點D、E、F．
（1）求證：BE=CE；
（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）利用切線長定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，進而得出BD=CF，即可得出答案；
（2）首先連結(jié)OD、OE，進而利用切線的性質(zhì)得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，進而得出四邊形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半徑．

解答：解法一：（1）證明：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AF，
即BD=CF，
∴BE=CE；
解法二：
（1）證明：連結(jié)OB、OC、OE
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
又∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為E，
∴OE⊥BC，
∴BE=CE；

（2）解：連結(jié)OD、OE，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，
又∵OD=OF，
∴四邊形ODAF是正方形，
設(shè)OD=AD=AF=r，
則BE=BD=CF=CE=2-r，
在△ABC中，∠A=90°，
∴BC=

AB2+AC2

=2

2

，
又∵BC=BE+CE，
∴（2-r）+（2-r）=2

2

，
得：r=2-

2

，
∴⊙O的半徑是2-

2

．

點評：此題主要考查了正方形的判定以及切線的性質(zhì)定理和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出四邊形ODAF是正方形是解題關(guān)鍵．