Question

如圖1，將一塊圓心角為120°的半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a面積為S₁的正三角形的中心O點(diǎn)，并將紙板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)計(jì)算正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度和圖中重疊陰影部分的面積．
探索：
（1）如圖2，將紙板的圓心角變?yōu)?0°，正三角形變?yōu)檎�方形（邊長(zhǎng)為a面積為S₂），試求出正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度和圖中重疊陰影部分的面積；
（2）觀察圖3，根據(jù)上面解題時(shí)獲得的經(jīng)驗(yàn)與體會(huì)，提出相似的問(wèn)題，并寫(xiě)出解決的過(guò)程；
（3）由此可以猜測(cè)如下的一般結(jié)論：

 

．（只寫(xiě)結(jié)論，不用證明）

Answer 1

分析：連接OA，OC，那么OA=OC，易得∠DOC=∠AOE=120°-∠EOC，∠COA=∠OCD=30°，可證△AOE≌△COD，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)線段相等，面積相等，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化．
（1）同法可得CE+CF=CD=a；S_{四邊形OECF}=S_△DOC=

1

4

S_{四邊形ABCD}=

1

4

S₂．
（2）同法可得EF+EG=AE=a，S_{四邊形ODCE}=S_△AOE=

1

5

S_{五邊形ABCDE}=

1

5

S₃．
（3）綜上所述，將一塊圓心角為

360°

n

°的半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a面積為S的正n邊形的中心O點(diǎn)，并將紙板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)a，圖中重疊陰影部分的面積為

s

n

．

解答：解：連接OA，OC，OB，
∴∠COA=∠OCD=∠OCA=30°，
∵DOE=120°，∠AOC=

360°

3

=120°，
∴∠DOE=∠AOC，
∴∠DOC=∠AOE
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COD，
∴CD=AE，
∴CD+CE=AE+CE=AC=a，
S_{四邊形ODCE}=S_△AOC=

1

3

S_△ABC=

1

3

S₁．

（1）連接OC，OD，
∴∠ECO=∠OCF=45°，
∵∠EOF=90°，∠COF=

360°

4

=90°，
∴∠EOF=∠COF，
∴∠EOC=∠DOF，
又∵OC=OD，
∴△DOF≌△COE，
∴CE=DF，
∴CE+CF=FD+CF=CD=a，
S_{四邊形OECF}=S_△DOC=

1

4

S_{四邊形ABCD}=

1

4

S₂．

（2）將紙板的圓心角變?yōu)?2°，正三角形變?yōu)檎�五邊形（邊長(zhǎng)為a面積為S₃），試求出正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度和圖中重疊陰影部分的面積．
連接OE，OA，同樣可得△AOG≌△EOF，
∴FE=AG，
∴S_{四邊形ODCE}=S_△AOE=

1

5

S_{五邊形ABCDE}=

1

5

S₃．

（3）將一塊圓心角為

360°

n

的半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a面積為S的正n邊形的中心O點(diǎn)，并將紙板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)a，圖中重疊陰影部分的面積為

s

n

．

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)利用全等把所求的線段和面積轉(zhuǎn)換為容易算出的線段和圖形的面積，注意類(lèi)比方法的運(yùn)用．