Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A在x軸的正半軸上，直線y＝x﹣1交邊AB、OA于點(diǎn)D、M，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，與BC的交點(diǎn)為N．

（1）求BN的長．

（2）點(diǎn)P是直線DM上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D、點(diǎn)M重合），連接PB、PC、MN，當(dāng)△BCP的面積等于四邊形ABNM的面積時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）在（2）的條件下，連接CP，以CP為邊作矩形CPEF，使矩形的對角線的交點(diǎn)G落在直線DM上，請寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）1 （2）（7，6） （3）（，）

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可求出BN的長；

（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用梯形的面積公式可求出梯形ABNM的面積，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x-1）（x≠1，x≠3），利用三角形的面積公式結(jié)合△BCP的面積等于梯形ABNM的面積，即可得出關(guān)于x的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)C作CF⊥CP，交DM于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（n，n-1），結(jié)合點(diǎn)C，P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出的值，利用勾股定理可得出關(guān)于n的一元一次方程，解之即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)G為線段PF的中點(diǎn)，即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解：（1） 正方形OABC

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3）．

當(dāng)x＝3時，y＝x﹣1＝2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）．

將D（3，2）代入，得：，解得：m＝6，

∴反比例函數(shù)解析式為．

當(dāng)y＝3時，，解得：x＝2，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3），

∴BN＝3﹣2＝1．

（2）當(dāng)y＝0時，x﹣1＝0，解得：x＝1，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），

∴AM＝2，

梯形AMNB．

如圖1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x﹣1）（x≠1，x≠3），

,

解得：（舍去），，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，6）．

（3）過點(diǎn)C作CF⊥CP，交DM于點(diǎn)F，

如圖2所示．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（n，n﹣1）．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，6），

∴

∵∠PCF＝90°，

∴，

即

解得：，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）．

又∵點(diǎn)G為矩形對角線的交點(diǎn)，

G為線段PF的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）．