Question

這是一個(gè)很著名的故事：阿基米德與國(guó)王下棋，國(guó)王輸了，國(guó)王問阿基米德要什么獎(jiǎng)賞？阿基米德對(duì)國(guó)王說：“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六�！�按這個(gè)方法放滿整個(gè)棋盤就行．”國(guó)王以為要不了多少糧食，就隨口答應(yīng)了，結(jié)果國(guó)王輸了．
（1）我們知道，國(guó)際象棋共有64個(gè)格子，則在第64格中應(yīng)放多少米？（用冪表示）
（2）請(qǐng)?zhí)骄康冢?）中的數(shù)的末位數(shù)字是多少？（簡(jiǎn)要寫出探究過程）
（3）求國(guó)王輸給阿基米德的米粒數(shù)．

Answer 1

解：（1）第64個(gè)格子，應(yīng)該底數(shù)是2，指數(shù)63，所以為263；
（2）∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2⁶³的末位數(shù)字與23的末位數(shù)字相同，是8．
（3）設(shè)x=1+2+2²+…+2⁶³ ①．
等式兩邊同時(shí)乘以2，得2x=2+2²+2³+…+2⁶⁴ ②
②﹣①，得x=2⁶⁴﹣1．
答：國(guó)王輸給阿基米德的米粒數(shù)為2⁶⁴﹣1．